§ IV. Эрмитовы матрицы

Определение 1. Матрица а, удовлетворяющая условию называется эрмитовой.

Заметим, что отображение не есть автоморфизм группы и что эрмитовы матрицы не образуют в подгруппы.

Предложение 1. Матрица а является эрмитовой в том и только в том случае, если

для любых двух векторов из

Действительно, если — эрмитова, то утверждаемый результат непосредственно вытекает из формулы (1) § III, стр. 21. Обратно, если указанное условие выполнено и любой вектор из , то для всех а имеем а откуда

Предложение 2. Если — эрмитова матрица, то снова эрмитова для любой, унитарной матрицы

Далее, существует унитарная матрица такая, что является диагональной матрицей. Если а вещественна, то мооюно взять ортогональной.

Первая часть этого предложения сразу следует из того, что

Вторую часть мы докажем индукцией по порядку матрицы Утверждение очевидно при Пусть теперь и наше утверждение верно для матриц порядка .

Пусть — характеристический корень матрицы Тогда в существует вектор такой, что домножив, в случае надобности, на некоторое число, отличное от нуля, мы можем считать, что Поэтому существует унитарная матрица такая, что (предложение стр. 22). Положим тогда эрмитова и, кроме того, имеем Пусть

Имеем

так как эрмитова, то Отсюда следует, что вещественно и

Зная уже, что вещественно, мы видим, что, в случае вещественности матрицы а, можно считать вектор вещественным (его координаты должны удовлетворять системе линейных уравнений с вещественными коэффициентами); поэтому мы можем считать в этом случае матрицу ортогональной (предложение За § III, стр. 23).

Матрица имеет вид

где эрмитова матрищ порядка причем вещественна, если вещественна а. По предположению индукции, существует унитарная матрица порядка такая, что диагональная матрица; если а вещественна, то матрицу

можно считать ортогональной. Обозначим через матрицу

очевидно, унитарную. Матрица также унитарна, и притом ортогональна, если вещественна. Так как — диагональная матрица, то мы видим, что предложение 2 верно и для матриц порядка Сверх того, наше доказательство содержит следующий результат:

Предложение 3. Характеристические корни эрмитовой матрицы вещественны.

Еектор а мы будем называть собственным вектором матрицы если а — единичный вектор и а где число; необходимо является характеристическим корнем матрицы а. Мы будем говорить, что а принадлежит корню Если а — диагональная матрица, то векторы собственные ее векторы, и обратно. Если а — собственный вектор матрицы то собственный вектор матрицы для любой регулярной матрицы Поэтому предложение 2 допускает следующую эквивалентную формулировку:

Предложение 4. Если -эрмитова матрица, то пространство обладает ортонормалъным базисом, составленным из ее собственных векторов.

Определение 2. Эрмитова матрица называется эрмитово положительной (полуопределенной), если все ее характеристические корни если ни один из этих корней не равен нулю, то называется положительно определенной.

Если эрмитова матрица, то и — эрмитова, так как

Далее, каждый характеристический корень матрицы а имеет вид где - характеристический корень матрицы и потому вещественен (предложение стр. 15). Таким образом, есть положительно определенная матрица.

Обратно, пусть любая положительно определенная матрица. Как мы знаем, существует унитарная матрица такая, что для векторов

имеем

с вещественными положительными Положим

и определим матрицу равенствами

Имеем что показывает, что вещественная диагональная, а потому эрмитова матрица; тогда и

— эрмитова. Кроме того, имеем

откуда

Мы утверждаем, далее, что представление матрицы в виде экспоненциала эрмитовой матрицы единственно. Действительно, пусть а — любая эрмитова матрица такая, что Пусть — любой собственный вектор матрицы а принадлежащий ее характеристическому корню Тогда

с другой стороны,

Отсюда явствует, что если какой, нибудь индекс, для которого тогда откуда поскольку и оба вещественны. С другой стороны,

Так как а оказывает то же действие, что и на каждый собственный вектор последней матрицы, то из предложения 4 следует, что Мы доказали

Предложение 5. Соответствие а взаимно однозначно отображает совокупность всех эрмитовых матриц на совокупность всех положительно определенных матриц.

Это отображение, очевидно, непрерывно. Докажем, что оно является топологическим. Действительно, пусть последовательность положительно определенных матриц, сходящаяся к положительно определенной матрице Характеристические полиномы матриц сходятся к характеристическому полиному матрицы ; отсюда следует, что характеристические корни матриц (расположенные в должном порядке) сходятся к характеристическим корням матрицы Так как то числа при неограниченном возрастании остаются ограниченными. Это означает, что остаются ограниченными характеристические корни матрицы определяемой условием Для каждого существует унитарная матрица такая, что есть диагональная матрица; диагональными коэффициентами матрицы 8 служат характеристические корни матрицы Поэтому коэффициенты матриц остаются ограниченными при неограниченном возрастании Так как унитарна, то любой ее коэффициент по абсолютной величине 1. Поэтому и коэффициенты матриц остаются ограниченными, так что последовательность содержится в ограниченной, т. е. компактной части пространства Отсюда следует, что из последовательности можно извлечь подпоследовательность, сходящуюся к некоторой матрице а. Так как то также , и матрица эрмитова. Вследствие непрерывности экспоненциального отображения а есть предел соответствующей подпоследовательности, выбранной из откуда Но, как мы знаем, представление матрицы в виде экспоненциала эрмитовой матрицы единственно, поэтому все сходящиеся подпоследовательности из последовательности имеют тот же предел а. Отсюда непосредственно следует, что Это дохазывает, что отображение является топологическим.

Эрмитова матрица очевидно, определяется коэффициентами (которые должны быть вещественными) и коэффициентами для (которые могут быть произвольными комплексными числами). Поэтому совокупность всех эрмитовых матриц гомеоморфна пространству а значит — также пространству Мы доказали

Предложение 6. Совокупности всех эрмитовых матриц порядка и всех положительно определенных матриц

порядка обе гомеоморфны пространству Соответствие а. является гомеоморфным отображением первой из этих совокупностей на вторую.