§ V. Вычисление форм Маурера-Картана в канонических координатах

Пусть аналитическая группа и -базис ее алгебры Ли Этому базису соответствует каноническая система координат в нейтральном элементе группы Пусть - базис форм Маурера-Картана, определенный условиями Мы хотим найти выражения

форм через координаты

Заметим сперва, что соответствие

есть аналитическое отображение всего многообразия в . Будем обозначать это отображение символом Форма есть не что иное, как Это показывает, что аналитические функции, которые можно считать определенными на всем

Каждому элементу соответствует аналитическое гомоморфное отображение аддитивной группы вещественных чисел в группу 0, и есть аналитичная пфаффова форма Пусть -координата на — лево-инвариантное инфинитезимальное преобразование группы определенное условием Тогда

откуда при имеем

Следовательно,

Пусть — отображение группы Так как

то

что, в силу формулы (3) § 111, дает:

или

Введем теперь отображение

пространства При этом отображении форме соответствует на аналитичная пфаффова форма выражающаяся, если воспользоваться формулами (1), в виде

Так как

то также

Положим для краткости

Имеем:

где невыписанные члены не содержат Сравнение членов, содержащих дает:

или, принимая во внимание, что

Будем рассматривать как фиксированные величины. Обозначим матрицу через а матрицу, коэффициентом которой в пересечении -той строки и -того столбца служит через Тогда получим:

где единичная матрица. При этом

Тем же способом, каким мы доказали сходимость ряда, представляющего экспоненциал матрицы (см. § II главы I, стр. 14), устанавливаем, что ряд

равномерно сходится в каждом ограниченном интервале изменения Пусть его сумма. Имеем и следовательно,

Полагая получаем следующий результат: Предложение 1. Пусть аналитическая группа и базис ее алгебры Ли. Пусть соответствующая каноническая система координат — формы Маурера-Картана, определяемые условиями

Матрица коэффициентов выражений

форм через координаты задается формулой

где X — матрица, коэффициентом которой с индексами служит

Замечание 1. Ряд, определяющий матрицу сходится для всех комплексных значений причем сходимость равномерна в каждой ограниченной области изменения величин

Отсюда, в частности, следует, что функции можно продолжить до целых аналитических функций комплексных переменных

Замечание тогда

Соответствие есть линейное отображение пространства в себя, и мы видим, что матрицей, выражающей это отображение по отношению к базису служит где матрица, полученная транспонированием из

Пример. Рассмотрим алгебру Ли ранга 3, с законом композиции, определенным формулами

Здесь

откуда и

Имеем:

Уравнения Маурера-Картана таковы:

и потому закон групповой композиции задается формулами

Легко прямым подсчетом проверить, что эти формулы определяют группу, имеющую своим многообразием Этим доказано существование аналитической группы, алгеброй Ли которой служиталгебра, определяемая формулами (1).