§ IX. Топологическое строение алгебраической группы, ассоциированной с компактной группой Ли

Пусть компактная группа Ли и ассоциированная с ней алгебраическая группа. Если функция принадлежит представляющему кольцу о группы то и комплексно сопряженная функция принадлежит этому кольцу. Отображение есть автоморфизм кольца , переводящий каждую комплексную константу в комплексно сопряженную константу. Пусть теперь любое гомоморфное отображение кольца в поле нетрудно видеть, что есть снова гомоморфное отображение кольца в С. Мы будем обозначать этот новый гомоморфизм через

Пусть - любое представление группы Имеем

где представление, комплексно сопряженное с Отсюда следует, что

Так как, кроме того,

то операция 1 есть автоморфизм второго порядка группы Этот автоморфизм, очевидно, является гомеоморфным отображением пространства на себя.

Это показывает, что элементы удовлетворяющие условию образуют замкнутую подгруппу группы мы обозначим эту подгруппу через

Пусть любой элемент из Отображение

очевидно, является гомоморфным отображением кольца в поле обозначим это отображение через Для любого представления группы имеем:

отсюда следует, что отображение есть непрерывное гомоморфное отображение группы Образом группы при этом гомоморфизме служит некоторая компактная подгруппа группы Так как , то следовательно, Мы докажем, что

Предложение 1. Для каждого элемента группы удовлетворяющего условию где 1 — автоморфизм, определенный формулой (1), существует элемент о группы такой, что для всех

В основе доказательства будет лежать Лемма 1. Группа компактна.

Пусть унитарное представление группы коэффициенты которого составляют систему образующих кольца . Для каждого имеем

(см. замечание после предложения 2 § VIII, стр. 285). Поэтому матрица в случае унитарна. С другой стороны, есть точное представление группы и потому топологически отображает на некоторую замкнутую

подгруппу группы Так как эта подгруппа содержится в то она компактна, чем лемма 1 и доказана.

Таким образом, компактные группы Ли. При этом как мы только что видели, допускает точное представление. Поэтому для доказательства того, что мы можем воспользоваться признаком, доставляемым предложением стр. 278. Пусть любое представление группы оно индуцирует некоторое представление группы В силу предложения достаточно доказать, что если содержит единичное представление группы то должно содержать единичное представление группы Итак, пусть содержит единичное представление группы тогда существует регулярная матрица такая, что

Пусть коэффициенты представления группы Пусть представление, введенное при доказательстве леммы 1, и коэффициенты представления группы Так как индуцирует точное представление группы то функции составляют систему образующих представляющего кольца группы Следовательно, при имеем:

где какие-то полиномы с комплексными коэффициентами. При этом

С другой стороны,

и так как

Поскольку гомоморфизм, из соотношений

следует тогда, что

т. е.

Но это означает, что содержит единичное представление группы Тем самым предложение 1 доказано.

В том случае, когда обладает по крайней мере одним точным представлением, представление использованное в доказательстве, является точным. Тогда из предложения 1 непосредственно следует, что (как топологическая группа) изоморфна

Предложение 2. Если компактная группа Ли допускает точное представление, то группа гомеоморфна произведению где — размерность группы

Мы снова воспользуемся представлением группы введенным при доказательстве леммы 1. При наших предположениях, есть точное представление. Соответствующее представление группы топологически отображает последнюю группу на некоторую линейную группу переводя элементы подгруппы в унитарные матрицы. При этом рассуждение, использованное в доказательстве леммы 1, сразу показывает, что верны следующие утверждения: вместе с любой матрицей в содержится также матрица ; всякая унитарная матрица из представляет элемент группы С другой стороны, из предложения стр. 286, следует, что есть алгебраическая группа. Поэтому предложение 2 будет доказано, если будет доказана

Лемма 2. Пусть алгебраическая подгруппа группы такая, что вместе с также Пусть -любая матрица из ее разложение в

произведение унитарной матрицы и положительно определенной матрицы Тогда Группа гомеоморфна произведению где размерность группы

Так как положительно определенная матрица, то существует матрица такая, что будет диагональной матрицей с положительными вещественными коэффициентами по главной диагонали. Матрицу можно записать тогда в виде , где

вещественные числа.

Группа очевидно, — также алгебраическая. Имеем откуда и вообще для каждого целого

Пусть любое из алгебраических уравнений, определяющих подгруппу полином, полученный из подстановкой для Тогда, по доказанному,

Но из соотношения (1) вытекает, что тождественно равно нулю. Действительно, в противном случае мы имели бы

где коэффициенты вещественные показатели, которые мы можем считать расположенными в убывающем порядке: Тогда для значений достаточно больших по абсолютной величине и совпадающих по знаку с выполнялось бы неравенство

что, однако, противоречит соотношению (1).

В частности, имеем:

откуда что и доказывает первую часть леммы 2.

Так как непрерывные функции от то очевидно, гомеоморфно произведению где - пространство всех положительно определенных матриц, содержащихся в Из доказательства первой части леммы 2 видно, что матрица имеет вид где а — эрмитова матрица, обладающая тем свойством, что для всех комплексных значений Так как матрица косо-эрмитова, то

для всех вещественных Это означает, что 1а принадлежит алгебре Ли группы Обратно, пусть любая матрица такая, что тогда для чисто мнимых имеем Пусть

— любое из алгебраических уравнений, определяющих Подставляя вместо аргументов коэффициенты матрицы мы преобразуем в целую функцию от равную нулю для всех чисто мнимых Тогда эта функция тождественно равна нулю, и, значит, для всех комплексных значений Матрица эрмитова, поскольку принадлежит алгебре Ли группы отсюда следует, что для всех вещественных есть положительно определенная матрица, и, значит, Так как как мы знаем из предложения главы I, стр. 27, топологически отображает на то и вторая часть леммы 2 доказана. Тем самым доказательство предложения 2 завершено.

Из предложения 2 непосредственно следует, что есть группа размерности Кроме того, из доказательства леммы 2 видно, что не имеют общих элементов Поэтому есть векторное пространство размерности Но пространство очевидно, содержится в алгебре Ли группы Следовательно, оно совпадает с ней. Этим доказано

Предложение 3. Пусть компактная группа Ли, допускающая точное представление, и - базис алгебры Ли группы Пусть

— соответствующие этому базису структурные уравнения. Тогда алгебра Ли алгебраической группы ассоциированной с имеет базис такой, что