§ III. Эрмитово произведение

Как мы уже заметили, пространство можно рассматривать как векторное пространство размерности над С, с базисом введенным в стр. 10 В этом параграфе мы будем обозначать произведение вектора а на число через (вместо ); этот способ обозначения будет удобнее, когда мы перейдем к кватернионам.

Определение 1. Пусть и векторы из Их эрмитово произведение мы определим формулой

Длиной вектора а мы будем называть число

Непосредственно ясно, что и что из следует

Число при фиксированном а есть линейная функция от 6, т. е.

Однако при фиксированном а не является линейной функцией от а, так как имеем:

откуда

Определение 2. Если то а называется единичным вектором. Два вектора называются ортогональными, если Система векторов называется ортонормальной, если каждый из векторов этой системы является единичным и каждые два различных ее вектора ортогональны.

Предложение 1. Для любых линейно независимых векторов существует ортонормалъная система такая, что на множества и для каждого натянуто одно и то же подпространство пространства

Мы проведем доказательство индукцией по Предложение 1 верно при действительно, имеем и в качестве берем Пусть теперь и предложение 1 уже установлено для систем из векторов. Тогда мы можем найти ортонормальную систему векторов такую, что на множества для каждого натянуто одно и то же подпространство в Рассмотрим теперь вектор

Так как линейно независимо от то с не лежит в пространстве, натянутом на В качестве возьмем Очевидно, и (в силу взаимной ортогональности векторов

т. е. вектор ортогонален к Тогда есть ортонормальная система, на которую натянуто то же пространство, что и на Таким образом, предложение 1 доказано и для систем из векторов.

Следствие 1. Любое векторное подпространство пространства обладает ортонормалъным базисом.

Следствие 2. Любой единичный вектор а из принадлежит некоторому ортонормальному базису пространства

Действительно, а можно взять в качестве первого элемента базиса пространства О. Применяя к этому базису построение, проведенное при доказательстве предложения 1, мы получим ортонормальный базис для О, имеющий своим первым элементом а.

Будем теперь рассматривать матрицы порядка в согласии с точкой зрения, принятой в как эндоморфизмы пространства

Предложение 2. Необходимым и достаточным условием унитарности матрицы является выполнение равенства

для всех а Из этого условия вытекает, что

для любых двух векторов из

Пусть сперва любая матрица. Имеем:

откуда

Далее,

откуда

Отсюда легко заключаем, что

для любых двух векторов и

Если теперь унитарная матрица, то

и, в частности, откуда

Обратно, предполагая, что это условие выполнено для каждого а, имеем:

откуда

Заменяя на имеем также:

и, следовательно,

Поэтому

для каждого а, откуда (в чем убеждаемся, взяв, например, Так как равенство верно для каждого 6, то единичная матрица, чем и установлена унитарность матрицы .

Из ортонормальности системы следует ортонормальность системы для каждого унитарного

Обратно, пусть -любая ортонормальная система. Существует матрица такая, что

Так как

то унитарна. В частности, получаем

Предложение 3. Для каждого единичного вектора а существует унитарная матрица о такая, что .

Вектор с вещественными координатами мы будем называть вещественным. Для вещественных векторов число также вещественно,

Предложение 4. Матрица о ортогональна в том и только в том случае, если выполнены следующие два условия:

1) для любых двух вещественных векторов

2) для любого вещественного вектора а вектор также вещественный.

Эти условия наверняка выполнены для ортогональной матрицы , поскольку она унитарна и вещественна. Обратно, предположим, что они выполнены. Пусть и

любые два комплексных вектора, Так как векторы вещественные, то имеем:

так что матрица унитарна. Так как также вещественна, то она ортогональна.

Процесс ортонормирования, использованный в доказательстве предложения 1, при применении к системе вещественных векторов приводит снова к вещественным векторам. Отсюда:

Следствие 2а предложения 1. Любой вещественный единичный вектор принадлежит некоторому ортонормальному базису пространства составленному из вещественных векторов.

Тем же способом, каким было доказано предложение 3, выводим:

Предложение 3а. Для каждого вещественного единичного вектора а существует ортогональная матрица такая, что .