Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § III. Эрмитово произведениеКак мы уже заметили, пространство Определение 1. Пусть
Длиной вектора а мы будем называть число
Непосредственно ясно, что Число
Однако при фиксированном
откуда
Определение 2. Если Предложение 1. Для любых Мы проведем доказательство индукцией по
Так как
т. е. вектор ортогонален к Следствие 1. Любое векторное подпространство пространства Следствие 2. Любой единичный вектор а из Действительно, а можно взять в качестве первого элемента базиса пространства О. Применяя к этому базису построение, проведенное при доказательстве предложения 1, мы получим ортонормальный базис для О, имеющий своим первым элементом а. Будем теперь рассматривать матрицы порядка Предложение 2. Необходимым и достаточным условием унитарности матрицы
для всех а
для любых двух векторов Пусть сперва
откуда
Далее,
откуда
Отсюда легко заключаем, что
для любых двух векторов Если теперь
и, в частности, Обратно, предполагая, что это условие выполнено для каждого а, имеем:
откуда
Заменяя
и, следовательно,
Поэтому
для каждого а, откуда Из ортонормальности системы Обратно, пусть Так как
то Предложение 3. Для каждого единичного вектора а существует унитарная матрица о такая, что Вектор Предложение 4. Матрица о ортогональна в том и только в том случае, если выполнены следующие два условия: 1) 2) для любого вещественного вектора а вектор Эти условия наверняка выполнены для ортогональной матрицы
так что матрица Процесс ортонормирования, использованный в доказательстве предложения 1, при применении к системе вещественных векторов приводит снова к вещественным векторам. Отсюда: Следствие 2а предложения 1. Любой вещественный единичный вектор принадлежит некоторому ортонормальному базису пространства Тем же способом, каким было доказано предложение 3, выводим: Предложение 3а. Для каждого вещественного единичного вектора а существует ортогональная матрица
|
1 |
Оглавление
|