Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § III. Действия над представлениями1. Сопряженное представлениеПусть
Очевидно,
Базису
Эндоморфизм Пусть теперь
показывает, что
есть представление. Если
служит матричной формой представления Определение 1. Пусть Предложение 1. Пусть представлением Эти утверждения непосредственно следуют из определений. Заметим, с другой стороны, что
для любого матричного представления 2. Сложение представленийПусть
Очевидно,
Пусть
образуют базис пространства
Это приводит к следующему определению: через
Если теперь
а также, что
В случае абстрактных представлений левая и правая части этих формул не равны, но эквивалентны.
3. Кронекеровское произведениеПусть
мыгочевидно, получаем линейный эндоморфизм Определение 2. Пусть произведением пространств Пусть Отображение
Если
Мы будем обозначать Пусть теперь
есть снова представление группы Пусть
образуют базис кронекеровского произведения
тогда
Но для каждой пары
Положив Пусть
Тогда
Вводя обозначение
получим
где
Это приводит к следующему определению: Определение 3. Пусть Из наших предшествующих рассмотрений непосредственно следует, что для любых матриц
С другой стороны, очевидно,
Если поэтому
Так как
Далее, легко видеть, что
В силу всего этого заключаем, что для любых абстрактных представлений Хотя равенство Простое рассуждение такого же типа показывает, что представление 4. Замечание о представлении ...Пусть
Легко проверить, что
и что Обозначим через матрицу из
где
Тогда
мы видим, что Пусть
Из этого нетрудно извлечь новое доказательство эквивалентности представлений
|
1 |
Оглавление
|