§ III. Действия над представлениями

1. Сопряженное представление

Пусть эндоморфизм векторного пространства над полем пространство, дуальное к (т. е. пространство линейных функций на со значениями из К). Будем под где любой элемент из понимать элемент из определенный формулой

Очевидно, есть эндоморфизм пространства При этом, для любых двух эндоморфизмов пространства имеем

Базису пространства соответствует дуальный базис пространства определенный формулами

Эндоморфизм выражается относительно базиса матрицей получаемой из матрицы а, представляющей эндоморфизм относительно базиса транспонированием.

Пусть теперь пространство представления группы Формула

показывает, что вообще говоря, не является представлением группы но, во всяком случае, отображение

есть представление. Если матричная форма представления то отображение

служит матричной формой представления

Определение 1. Пусть абстрактное (соответственно матричное) представление группы Представление (соответственно называется сопряженным с и обозначается через

Предложение 1. Пусть унитарное матричное представление группы Тогда совпадает с представлением комплексно сопряженным с

представлением таким, что Если ортогональное представление группы то

Эти утверждения непосредственно следуют из определений. Заметим, с другой стороны, что

для любого матричного представления

2. Сложение представлений

Пусть и пространства представлений группы Построим произведение пространств и отнесем каждому линейный эндоморфизм пространства определенный формулой

Очевидно, есть представление группы Мы будем говорить, что есть сумма представлений и и писать

Пусть базисы пространств матрицы, выражающие эндоморфизмы относительно этих базисов. Тогда векторы

образуют базис пространства представляется относительно этого базиса матрицей

Это приводит к следующему определению: через где квадратные матрицы порядков, соответственно, мы будем обозначать матрицу порядка

Если теперь и -матричные представления группы О, то через будем, естественно, обозначать матричное представление, относящее каждому матрицу Непосредственно ясно, что для любых трех матричных представлений имеет место формула

а также, что

В случае абстрактных представлений левая и правая части этих формул не равны, но эквивалентны.

эквивалентно как Для абстрактных, так и для матричных представлений и Действительно, пусть, например, и - абстрактные представления, и пусть пространства этих представлений. Ясно, что линейное изоморфное отображение пространства на X устанавливает изоморфизм пространств представлений

3. Кронекеровское произведение

Пусть пространства представлений группы Обозначим через пространство билинейных функций на X со значениями из К. Пусть — линейный эндоморфизм пространства Относя каждой билинейной форме билинейную форму определяемую равенством

мыгочевидно, получаем линейный эндоморфизм пространства Мы будем говорить, что есть линейный эндоморфизм пространства соответствующий Пусть еще какие-нибудь эндоморфизмы пространств линейный эндоморфизм пространства соответствующий паре Легко видеть тогда, что линейным эндоморфизмом, соответствующим паре будет служить Происходящее здесь обращение порядка можно компенсировать переходом к соответствующим эндоморфизмам в пространстве дуальном к поскольку о

Определение 2. Пусть векторные пространства над полем К. Пространство, дуальное к пространству билинейных функций на X называется кронекеровским

произведением пространств и обозначается через

Пусть — элемент из Паре соответствует линейная функция на относящая каждому значение Но линейная функция, определенная на является элементом кронекеровского произведения Тем самым мы имеем отображение пространства Элемент пространства соответствующий ларе мы будем обозначать через

Отображение не есть линейное отображение пространства но оно билинейно, т. е.

Если — линейный эндоморфизм пространства то соответствующий линейный эндоморфизм кронекеровского произведения преобразует элемент по формуле

Мы будем обозначать через

Пусть теперь пространства представлений группы Из сказанного нами следует, что отображение

есть снова представление группы Это представление называется кронекеровским произведением представлений и выражается символом

Пусть — базис пространства Тогда элементов

образуют базис кронекеровского произведения Действительно, так как имеет ту же размерность, что и т. е. то достаточно доказать, что элементы линейно независимы. Допустим, что

тогда

Но для каждой пары существует билинейная функция такая, что

Положив получим чем наше утверждение и доказано.

Пусть линейный эндоморфизм пространства и

Тогда

Вводя обозначение

получим

где

Это приводит к следующему определению:

Определение 3. Пусть -матрицы порядков, соответственно, обозначим через (а назовем кронекеровским произведением матриц матрицу порядк коэффициенты которой задаются формулой (1). Кронекеровским произведением матричных представлений группы мы назовем представление относящее каждому матрицу

Из наших предшествующих рассмотрений непосредственно следует, что для любых матриц порядка и матриц и порядка имеет место формула

С другой стороны, очевидно,

Если поэтому -регулярные матрицы, то имеем

Так как то также

Далее, легко видеть, что

В силу всего этого заключаем, что для любых абстрактных представлений группы представление эквивалентно представлению и представление эквивалентно представлению Далее, если заменить эквивалентными представлениями, то и заменится эквивалентным представлением.

Хотя равенство вообще говоря, и не имеет места, тем не менее, представление эквивалентно представлению Действительно, изоморфизм пространств этих представлений осуществляется линейным отображением, относящим каждому элементу вида (где ) элемент В силу этого и представление эквивалентно представлению

Простое рассуждение такого же типа показывает, что представление эквивалентно представлению

4. Замечание о представлении ...

Пусть матричные представления группы степеней, соответственно, Пусть совокупность всех прямоугольных матриц строками и столбцами; есть векторное пространство размерности Отнесем каждому эндоморфизм пространства отображающий каждую матрицу на

Легко проверить, что

и что (где - нейтральный элемент группы G) есть тождественное отображение. Поэтому отображение является абстрактным представлением группы Мы утверждаем, что есть абстрактная форма представления

Обозначим через матрицу из содержащую на пересечении -той строки -того столбца единицу, а на всех остальных местах — нули. элементов образуют базис пространства Простое вычисление показывает, что

где матрицы Положим

Тогда

мы видим, что служит матричной формой представления А, соответствующей нашему выбору базиса в чем наше утверждение и доказано.

Пусть абстрактная форма представления пространство представления можно интерпретировать как пространство линейных отображений пространства . С этой точки зрения может быть определено как эндоморфизм пространства Соотносящий каждому отображение определённое формулой

Из этого нетрудно извлечь новое доказательство эквивалентности представлений .