§ II. Алгебра Ли

Пусть — аналитическая группа. Обозначим через касательное пространство к в точке Для любых двух элементов из существует однозначно определенный элемент такой, что порожденный им левый сдвиг отображает на ; мы будем обозначать этот левый сдвйг через

Из определения аналитической группы непосредственно следует, что отображение группы в аналитично.

Поэтому аналитично отображение получаемое в результате последовательного выполнения отображений таким образом, каждый левый сдвиг в аналитической группе есть аналитическое изоморфное отображение базисного многообразия на себя.

Отсюда следует, что отображение обладает дифференциалом изоморфно отображающим на

Определение 1. Инфинитезимальное преобразование X, заданное на называется левоинвариантным, если

для любых

Пусть нейтральный элемент группы Для того чтобы инфинитезимальное преобразование X было левоинвариантным, достаточно, чтобы для каждого выполнялось равенство Действительно, предположим, что это условие выполнено; так как - отображение, обратное к то есть отображение, обратное к поэтому

Отсюда непосредственно следует, что для любого заданного элемента существует одно и только одно левоинвариантное инфинитезимальное преобразование принимающее в значение

Докажем теперь, что каждое левоинвариантное инфинитезимальное преобразование X аналитично.

Пусть произвольный элемент из . Выберем на какую-нибудь систему координат и какую-нибудь кубическую окрестность точки относительно этой системы. обладает кубической окрестностью такой, что для всех Пусть любой элемент из по определению дифференциала отображения (см. формулу (3) § IV главы III, стр. 118),

Функции определены и аналитичны на имеем:

где функции аналитичны относительно своих аргументов в окрестности системы значений Таким образом, по формуле (1) § IV главы III, стр. 117, имеем:

где индексы означают, что частные производные берутся при Величины

являются константами, а производная рассматриваемая как функция от аналитична в Поэтому функции аналитичны в чем и доказана аналитичность инфинитезимального преобразования X в

Пусть -любая пара лево-инвариантных инфинитезимальных преобразований. Так как, в силу предложения 2 § V главы III, стр. 128,

то также лево-инвариантно.

В силу установленного выше взаимно однозначного соответствия между лево-инвариантными инфииитезимальными преобразованиями группы и касательными векторами к в нейтральном элементе лево-инвариантные инфинитезимальные преобразования группы образуют векторное пространство размерности над полем вещественных чисел (где размерность группы При этом, если то также

Определение 2. Пусть К — поле конечномерное вектбрное пространство над К. Предположим, кроме того, что в задан закон композиции обладающий следующими свойствами;

1. Он билинеен, т. е.

2. Для любых выполняются условия

Тогдя , с зтим законом композиции, называется алгеброй над К.

Замечание. Из определения непосредственно следует, что

действительно,

Мы видим, что, в терминах этого определения, лево-инвариантные инфинитезимальные преобразования аналитической группы образуют алгебру Ли над полем вещественных чисел (ранг которой равен размерности группы Эта алгебра Ли называется алгеброй Ли группы

Вместо лево-инвариантных инфинигезимальных преобразований мы могли бы рассматривать и право-инвариантные инфинитезимальные преобразования. Пусть правый сдвиг, порожденный элементом Право-инвариантное инфинитезимальное преобразование характеризуется тем, что для любого Пусть отображение группы на себя.

Ясно, что есть аналитическое изоморфное отображение базисного многообразия группы на себя. Пусть -любое левоинвариантное инфинитезимальное преобразование; мы утверждаем, что инфинитезимальное преобразование К, определенное формулой

право-инвариантно. Действительно,

Но отображает произвольный элемент так что

Поэтому

чем наше утверждение и доказано.

Право-инвариантные инфинитезимальные преобразования также образуют алгебру Ли. Но так как

то эта новая алгебра Ли изоморфна алгебре Ли лево-инвариантных инфинитезимальных преобразований и потому не может дать никакой дополнительной информации о структуре группы g.