§ VIII. Группа Пуанкарэ. Накрывающие группы

Пусть — пространство, допускающее односвязное накрывающее пространство (т. е. накрывающее пространство с односвязным Докажем, что это накрывающее пространство, с точностью до изоморфизмов, единственно.

Для этой цели докажем сперва

Предложение 1. Пусть односвязное пространство. Пусть — какое-нибудь пространство, его накрывающее пространство и непрерывное отображение Тогда существует непрерывное отображение пространства такое, что Это отображение можно построить так, чтобы оно относило заданной точке любую заранее указанную точку такую, что и тогда будет уже однозначно определено.

Пусть — совокупность пар для которых Проекция на индуцирует непрерывное отображение множества на Для каждого можно найти в связную окрестность V элемента ровно накрытую пространством пусть компоненты множества Пусть, далее, -связная окрестность элемента такая, что для каждого обозначим через точку где -элемент из определяемый формулой Соответствие непрерывно отображает на некоторое подмножество из есть точка Из всего сказанного следует, что топологически отображает на

Множество (1) является объединением множеств соответствие отображает любое связное подмножество из на связное подмножество из т. е. на подмножество некоторого Отсюда следует, что

являются компонентами множества и что ровно закрыто множеством относительно

Пусть — компонента точки и — отображение, индуцируемое отображением на . В силу леммы 5 § VI, стр. 64, является накрывающим пространством для 28. Так как односвязно, то гомеоморфизм. Мы можем определить теперь формулой

Ясно, что отображение обладает требуемыми свойствами. Единственность его обеспечивает

Лемма 1. Пусть накрывающее пространство пространства и непрерывные отображения связного пространства в такие, что Если тогда хотя бы для одной точки то

Пусть -множество тех точек для которых очевидно, замкнуто и по предположению не пусто. Лемма 1 будет доказана, если мы сможем показать, что А — открытое множество. Пусть точка имеет окрестность V, ровно накрытую пространством Компонента V точки является окрестностью этой точки в (см. лемму 1 § VI, стр. 62). Отсюда следует, что в существует окрестность точки такая, что

Так как топологически отображает V, то для каждой точки откуда Тем самым лемма 1 доказана.

Замечание. Утверждение предложения 1 в известной степени аналогично принципу минодромии. И действительно, предложение 1 можно вывести из принципа монодромии, если предположить, что пространство 28 нормально.

Пусть теперь односвязные накрывающие пространства одного и того же пространства Пусть

точка из соответственно, — точки из такие, что

В силу предложения 1, существуют непрерывные отображения: пространства в и пространства такие, что

Тогда есть непрерывное отображение 6 пространства в себя такое, что

В силу предложения 1, 6 есть тождественное отображение пространства на себя. Таким же образом убедимся в том, что есть тождественное отображение пространства на себя.

Отсюда следует, что есть гомеоморфизм и Мы доказали Предл о жени Односвязные накрывающие пространства одного и того же пространства с точностью до изоморфизмов, совпадают.

Применение наших предшествующих рассмотрений к тому случаю, когда показывает, что если точки из такие, что то существует однозначно определенное гомеоморфное отображение пространства на себя, удовлетворяющее условиям

Определение 1. Пусть пространство, допускающее односвязное накрывающее пространство Группа тех гомеоморфных отображений пространства на себя, для которых называется группой Пуанкарэ (или фундаментальной группой) пространства

Группы Пуанкарэ любых двух односвязных накрывающих Пространств одного и того же пространства как это непосредственно следует из предложения 2, изоморфны. Абстрактную группу, изоморфную группе Пуанкарэ любого односвязного накрывающего пространства данного пространства мы

будем называть группой Пуанкарэ (или фундаментальной группой) пространства Мы доказали

Предложение 3. Пусть пространство допускает односвязное накрывающее пространство Для любых двух точек из таких, существует однозначно определенная операция из группы Пуанкарэ пространства отображающая на

Лемма 2. Пусть два пространства и

— накрывающее пространство для Тогда где является накрывающим пространством для

Пусть любая точка из . В можно найти окрестность V точки ровно накрытую пространством Пусть любая компонента множества ; тогда топологически отображает на Множество будучи связным, содержится в некоторой компоненте V множества Так как проекция произведения на отображает V в компоненту множества то Так как, при этом, любая точка из принадлежит некоторому множеству вида то заключаем, что компонентами множества служат множества и что ровно накрыто пространством относительно Но связно и односвязно. Тем самым лемма 2 доказана.

Предложение 4. Если пространства и оба допускают односвязные накрывающие пространства, то и их произведение допускает односвязное накрывающее пространство, причем его группа Пуанкарэ изоморфна произведению групп Пуанкарэ пространств и .

Пусть односвязное накрывающее пространство пространства Тогда где отображение определено как в лемме 2, служит накрывающим пространством для При этом согласно предложению 1 § VII,

стр. 69, односвязно. Пусть фундаментальная группа пространства Отображение пространства в себя, определенное формулой

очевидно, принадлежит группе Пуанкарэ пространства Легко проверить, что соответствие является изоморфизмом группы некоторой подгруппой группы Пусть теперь любые две точки из такие, что Тогда и существует элемент такой, что Операция из соответствующая паре отображает на Принимая во внимание предложение 3, заключаем, что соответствие отображает на Предложение 4 доказано.

Рассмотрим теперь понятие накрывающего пространства для того случая, когда накрываемым пространством служит топологическая группа.

Определение 2. Пусть топологическая группа.

Накрывающей группой этой группы мы называем пару составленную из топологической группы и ее гомоморфного отображения служащую накрывающим пространством для

Предложение 5. Пусть топологическая группа обладает односвязным накрывающим пространством Тогда в можно определить умножение, превращающее пространство в топологическую группу, а накрывающее пространство накрывающую группу.

Пусть нейтральный элемент группы любой элемент из такой, что Пространство односвязно (предложение 1 § VII, стр. 69). В силу предложения 1 этого параграфа, существует непрерывное отображение пространства такое, что

Имеем

откуда, опираясь на единственность, утверждаемую в предложении 1 (на этот раз — в применении к отображению ), заключаем, что

Полагая

имеем:

Еще раз пользуясь единственностью, утверждаемой в предложении 1, легко выводим отсюда формулы

Соответствие есть непрерывное отображение, переводящее связное пространство в дискретное пространство и оставляющее на месте. Отсюда следует, что

Аналогично убедимся в том, что и

Таким образом наш закон композиции превращает в топологическую группу, и предложение 5 доказано.

Закон композиции, определенный нами в зависит от выбора элемента Тем не менее, имеет место

Предложение 6. Если топологическая группа допускает односвязную накрывающую группу то эта накрывающая группа, с точностью до изоморфизмов, единственна; иными словами, ггли -тоже односвязная

накрывающая группа для то существует такое изоморфное отображение топологической группы на что .

Пусть соответственно, — нейтральные элементы групп Можно найти такие окрестности этих элементов, что отображения, индуцируемые отображениями на являются локальными изоморфными отображениями этих множеств на Отсюда следует, что можно найти локальное изоморфное отображение множества V на V и локальное изоморфное отображение О множества V на V такие, что будут тождественными отображениями, соответственно, на себя и, кроме того, будет совпадать на Согласно теореме 3, стр. и О можно продолжить, соответственно, до гомоморфных отображений всей группы и всей группы будем обозначать эти продолженные гомоморфизмы также через и 0.

Так как служат, соответственно, системами образующих для (теорема 1, стр. 54), то являются, соответственно, тождественными отображениями групп на себя. Отсюда следует, что изоморфно отображает (рассматриваемую как топологическая группа) на Так как, кроме того, оба являются гомоморфными отображениями (совпадающими на V), то они совпадают всюду. Тем самым предложение доказано.

Предложение 7. Пусть топологическая группа допускает односвязную накрывающую группу Тогда группа Пуанкарэ для изоморфна ядру гомоморфизма в частности, эта группа коммутативна.

Пусть ядро гомоморфизма Если то левый сдвиг определяемый элементом является гомеоморфным отображением пространства на себя, таким, что

Следовательно, принадлежит группе Пуанкарэ для Применяя предложение 3, легко проверить, что соответствие

осуществляет изоморфизм группы и группы Пуанкарэ для Последнее утверждение предложения 7 вытекает тогда из предложения 2 § VII, стр. 75.