§ I. Полилинейные функции

Пусть К — поле и векторных пространств над К размерностей

Определение -линейной функцией на называется отображение этого произведения в К такое,

что есть линейная функция любого из своих аргументов, когда остальных аргументов фиксированы; т. е. для любых имеем:

Пусть - две такие -линейные функции. Тогда и функция отображающая в

очевидно, является -линейной.

Пусть базис пространства и

Для любой -линейной функции имеем:

Это показывает, что вполне определяется заданием величин Обратно, эти величины, очевидно, можно выбрать в К произвольно. Отсюда заключаем, что -линейные функции образуют векторное пространство над К размерности

Пусть теперь еще одна система векторных пространств над К. Пусть -какая-нибудь -линейная функция, определенная на и какая-нибудь -линейная функция, определенная Тогда функция определенная на для всех формулой

очевидно, является -линейной функцией.

Определение 2. Функция А, определенная формулой (2), называется кронекеровским произведением функций и обозначается через

Укажем следующие очевидные свойства кронекеровского произведения:

1) Оно линейно по каждому аргументу, т. е.

2) Для любой -линейной функции определенной на какая-нибудь третья система векторных пространств над имеем:

При -линейные функции на 2) являются просто линейными отображениями пространства 50 в поле К.

Определение 3. Векторное пространство, составленное из линейных отображений векторного пространства в поле К, называется пространством, дуальным к и обозначается через

Пусть базис пространства Отнесем каждому элемент определенный условиями

Эти элементов сбразуют базис пространства называемый дуальным к базису пространства

Пусть а произвольный элемент из Рассматривая для как функцию от мы получаем некоторую линейную функцию на

При этом соответствие а есть, очевидно, линейное отображение пространства Для всякого существует по крайней мерз одно такое, что например, при Поэтому и линейное отображение взаимно однозначно. Так как имеют одинаковую размерность, то это отображение осуществляет линейный изоморфизм пространств Мы будем называть его естественным изоморфным отображением пространства на

В частности, заключаем отсюда, что каждый базис пространства дуален к некоторому базису пространства

Предложение 1. Пусть произвольные векторных пространств над - базис пространства дуального к . Тогда элементов

образуют базис пространства -линейных функций, определенных на

Действительно, пусть базис пространства дуальный к Имеем:

что, в сопоставлении с формулой (1), и доказывает предложение 1.