Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § XIII. Топологическая инвариантность алгебры ЛиВ этом параграфз мы докажем, что две аналитические группы, имеющие одну и ту же базисную топологическую группу, совпадают также как аналитические группы и, в частности, имеют одну и ту же алгебру Ли. Пусть Лемма 1. Пусть а — какое-нибудь фиксированное число такое, что Положим
где
Мы хотим доказать, что
Если
и потому не принадлежит окрестности
полагая Замечание. Равенство Пусть теперь
для достаточно большого целого
С другой стороны, так как
Поэтому, в силу леммы 1,
и
для достаточно больших
Пусть
Так как оба отображения и Предложение 1. Каждое непрерывное гомоморфное отображение Пусть
Имеем:
Пусть
будет содержаться в некоторой канонической окрестности нейтрального элемента, и его координаты
будут аналитическими функциями от
Поэтому функциональный определитель при
где числа Результат, анонсированный в начале параграфа, непосредственно следует теперь из доказанного нами предложения. Теорема 3. Две аналитические группы Действительно, нужно лишь применить предложение 1 к тождественным отображениям группы Определение 1. Локально связная топологическая группа Как мы знаем из теоремы 3, в этом случае группа Группа Ли всегда локально декартова (т. е. существует окрестность ее нейтрального элемента, гомеоморфная декартову пространству а также для коммутативных групп. Хотя справедливость его в общем случае представляется почти достоверной, доказательство потребует, вероятно, ряда совершенно новых методов. Разумеется, каждая дискретная группа есть группа Ли (размерности 0). Линейные группы, рассматривавшиеся в главе I, все являются группами Ли. Центр группы Ли есть группа Ли. Произведение конечного числа групп Ли есть группа Ли. В следующем параграфе мы докажем, что каждая замкнутая топологическая подгруппа группы Ли является группой Ли.
|
1 |
Оглавление
|