§ XIII. Топологическая инвариантность алгебры Ли

В этом параграфз мы докажем, что две аналитические группы, имеющие одну и ту же базисную топологическую группу, совпадают также как аналитические группы и, в частности, имеют одну и ту же алгебру Ли.

Пусть -аналитическая группа; выберем каноническую систему координат в нейтральном элементе группы и возьмем какую-нибудь кубическую окрестность точки относительно этой системы. Пусть ширина куба

Лемма 1. Пусть а — какое-нибудь фиксированное число такое, что — совокупность тех точек для которых Если элемент таков, все принадлежат V, то имеем

Положим

где -базис алгебры Ли группы соответствующий системе координат Тогда для всех значений таких, что Мы можем считать, что определим тогда число равенством

Мы хотим доказать, что Пусть - целое число такое, что Имеем

Если тот индекс, для которого то

и потому не принадлежит окрестности а тогда Поэтому

полагая получим

Замечание. Равенство выполняется, очевидно, также при —

Пусть теперь непрерывное гомоморфное отображение аддитивной группы вещественных чисел в Мы можем найти интервал такой, что, сохраняя обозначения лемчы 1, будем для всех из этого интервала иметь Положим

для достаточно большого целого имеем:

С другой стороны, так как гомоморфизм, то

Поэтому, в силу леммы 1,

и

для достаточно больших В силу непрерывности функций отсюда непосредственно следует, что

Пусть любое фиксированное число из интервала При имеем:

Так как оба отображения и гомоморфизмы, то эта формула справедлива для всех значений Тем самым мы доказали, что гомоморфизм аналитичен.

Предложение 1. Каждое непрерывное гомоморфное отображение аналитической группы в аналитическую группу аналитично.

Пусть -базис алгебры Ли группы Отображение есть непрерывное гомоморфное отображение группы поэтому, в силу доказанного выше, для каждого существует элемент алгебры Ли группы такой, что

Имеем:

Пусть каноническая система координат на 0, соответствующая базису алгебры При достаточно малых элемент

будет содержаться в некоторой канонической окрестности нейтрального элемента, и его координаты

будут аналитическими функциями от При имеем откуда

Поэтому функциональный определитель при равен единице. Отсюда вытекает существование окрестности V нейтрального элемента в такой, что каждый элемент может быть записан в виде

где числа аналитически зависят от Формула (1) сразу показывает, что отображение аналитично в нейтральном элементе, а потому (согласно замечанию, сделанному в конце и всюду.

Результат, анонсированный в начале параграфа, непосредственно следует теперь из доказанного нами предложения.

Теорема 3. Две аналитические группы , имеющие одну и ту же базисную топологическую группу, совпадают.

Действительно, нужно лишь применить предложение 1 к тождественным отображениям группы в и группы эти отображения оказываются аналитичными и потому являются взаимно обратными аналитическими изоморфными отображениями.

Определение 1. Локально связная топологическая группа называется группой Ли, если компонента ее нейтрального элемента служит базисной топологической группой некоторой аналитической группы

Как мы знаем из теоремы 3, в этом случае группа однозначно определена. Ее алгебра Ли называется также алгеброй Ли группы

Группа Ли всегда локально декартова (т. е. существует окрестность ее нейтрального элемента, гомеоморфная декартову пространству Гильберт высказал предположение, что, и обратно, каждая локально декартова группа является группой Ли. Справедливость этого предположения установлена лишь при некоторых ограничительных условиях; так, например, мы знаем теперь, что оно выполняется для компактных групп,

а также для коммутативных групп. Хотя справедливость его в общем случае представляется почти достоверной, доказательство потребует, вероятно, ряда совершенно новых методов.

Разумеется, каждая дискретная группа есть группа Ли (размерности 0). Линейные группы, рассматривавшиеся в главе I, все являются группами Ли. Центр группы Ли есть группа Ли. Произведение конечного числа групп Ли есть группа Ли.

В следующем параграфе мы докажем, что каждая замкнутая топологическая подгруппа группы Ли является группой Ли.