§ X. Примеры

Определим алгебраические группы, ассоциированные с линейными группами, введенными, в главе

Алгебраической группой, ассоциированной с служит, очевидно,

Рассмотрим теперь группу Тождественное отображение группы есть представление этой группы. Из предложения 3 § VII, стр. 275, следует, что коэффициенты представления составляют систему образующих представляющего кольца группы Для имеем

Отсюда следует, что коэффициенты матрицы могут быть выражены в виде полиномов от коэффициентов матрицы Поэтому и коэффициенты одного представления составляют систему образующих кольца . Пусть представление алгебраической группы, ассоциированной с группой являющееся продолжением представления и — образ ассоциированной группы при отображении Так как то из предложения 3 § VIII, стр. 286, следует, что Далее,

поэтому есть компонента единичной матрицы в Но из леммы 2 § IX, стр. 290, мы знаем, что гомеоморфна поэтому Так как точное предстлвление, то мы можем сказать, что алгебраической группой, ассоциированной с служит Тождественное отображение группы в есть точное представление группы вещественными матрицами

Следовательно, коэффициенты матрицы из рассматриваемые как функции на составляют систему образующих представляющего кольца группы Тогда легко видеть, что алгебраической группой, ассоциированной с служит и что алгебраической группой, ассоциированной с служит группа являющаяся подгруппой индекса 2 группы

Группа есть группа унитарных матриц порядка удовлетворяющих условию

где единичная матрица порядка Следовательно, для каждого мы имеем

Так как, с другой стороны, группа связна, то отсюда сразу следует, что

Рассуждая так же, как в случае группы заключаем тогда, что коэффициенты матрицы из рассматриваемые как функции на составляют систему образующих представляющего кольца группы и потому алгебраическую группу, ассоциированную с группой можно отождествить с некоторой подгруппой группы Для матрицы из имеем:

и так как

то и Применяя лемму 2 § IX, стр. 290, заключаем тогда, что алгебраической группой, ассоциированной с служит Одновременно мы обнаружили, что группа гомеоморфна произведению чем, в частности, доказана ее связность и односвязность.