§ X. Примеры
Определим алгебраические группы, ассоциированные с линейными группами, введенными, в главе
Алгебраической группой, ассоциированной с
служит, очевидно,
Рассмотрим теперь группу
Тождественное отображение
группы
есть представление этой группы. Из предложения 3 § VII, стр. 275, следует, что коэффициенты представления
составляют систему образующих представляющего кольца
группы
Для
имеем
Отсюда следует, что коэффициенты матрицы
могут быть выражены в виде полиномов от коэффициентов матрицы
Поэтому и коэффициенты одного представления
составляют систему образующих кольца
. Пусть
представление алгебраической группы, ассоциированной с группой
являющееся продолжением представления
и
— образ ассоциированной группы при отображении
Так как
то из предложения 3 § VIII, стр. 286, следует, что
Далее,
поэтому
есть компонента единичной матрицы в
Но из леммы 2 § IX, стр. 290, мы знаем, что
гомеоморфна
поэтому
Так как
точное предстлвление, то мы можем сказать, что алгебраической группой, ассоциированной с
служит
Тождественное отображение группы
в
есть точное представление группы
вещественными матрицами
Следовательно, коэффициенты матрицы из
рассматриваемые как функции на
составляют систему образующих представляющего кольца группы
Тогда легко видеть, что алгебраической группой, ассоциированной с
служит
и что алгебраической группой, ассоциированной с
служит группа
являющаяся подгруппой индекса 2 группы
Группа
есть группа унитарных матриц
порядка
удовлетворяющих условию
где
единичная матрица порядка
Следовательно, для каждого
мы имеем
Так как, с другой стороны, группа
связна, то отсюда сразу следует, что
Рассуждая так же, как в случае группы
заключаем тогда, что коэффициенты матрицы из
рассматриваемые как функции на
составляют систему образующих представляющего кольца группы
и потому алгебраическую группу, ассоциированную с группой
можно отождествить с некоторой подгруппой группы
Для матрицы
из
имеем:
и так как
то и
Применяя лемму 2 § IX, стр. 290, заключаем тогда, что алгебраической группой, ассоциированной с
служит
Одновременно мы обнаружили, что группа
гомеоморфна произведению
чем, в частности, доказана ее связность и односвязность.