§ II. Знакопеременные функции

Рассмотрим теперь -линейные функции А, определенные на произведении векторных пространств, тождественных с заданным векторным пространством размерности над основным полем К, которое мы будем предполагать полем характеристики 0. Пусть где пространство этих -линейных функций. Множество рассматриваемое как векторное пространство размерности 1 над мы будем обозначать через Образуем произведение Элемент этого произведения есть отображение, относящее каждому некоторый элемент Рассмотрим подмножество О тех элементов из которых почти все координаты (т. е. все, за исключением конечного числа) равны нулю. Если

— какие-нибудь элементы из О, то для люэых элемент

тоже принадлежит множеству О. Таким образом, О есть векторное пространство (бесконечной размерности) над К. Элемент из О называется однородным степени если его

координаты, за исключением, быть может, -той, равны нулю. Такой элемент можно без опасения отождествить с его -координатой. Произведя эти отождествления, мы можем записать элемент в форме . (Символ означает здесь столь большой номер, что для всех

В § I мы определили произведение элемента на элемент в предположении, что Но если, например, то есть элемент из и также определено, поскольку есть векторное пространство над То же относится и к случаю При этом формула

остается верной и тогда, когда для допускаются нулевые значения.

Мы можем теперь определить произведение любых двух элементов из О формулой

означающей, что -координатой произведения служит

Очевидно, -координата произведения для достаточно больших равна нулю, откуда

Проверка того, что О становится при этом умножении кольцом, не представляет никакого труда. Элемент

служит единицей этого кольца.

Определим теперь в операцию, которую мы назовем альтернированием. Пусть какой-нибудь элемент из любая подстановка элементов множества Функция А, определенная формулой

очевидно, снова принадлежит пространству При этом соответствие есть линейное отображение пространства в себя. Альтернирование мы определим теперь как операцию отображающую любой элемент на

где сумма распространена на все подстановок элементов множества равно 1 для четных подстановок и — 1 для нечетных подстановок При или 1 мы полагаем

Для любого элемента из О положим:

А будет линейным отображением пространства О в себя.

Обозначим через совокупность тех элементов для которых Очевидно, есть векторное подпространство пространства Мы докажем теперь тот замечательный факт, что 3 в действительности является двусторонним идеалом в кольце О, т. е., другими словами, что из следует для любого Очевидно, достаточно доказать это для того случая, когда Полагая

имеем:

где суммирование распространено на все подстановки элементов множества Пусть О — группа этих подстановок и подгруппа, составленная из тех подстановок которые оставляют номера на месте. Рассмотрим сумму

распространенную на все подстановки из некоторого смежного класса Так как

то, положив

мы можем записать эту сумму в виде

Но операции из индуцируют полную совокупность подстановок элементов множества так что второй множитель равен нулю. Отсюда и следует, что

Аналогично докажем, что и

Таким образом, совокупность классов вычетов кольца О по модулю 3 есть снова кольцо. Она является также векторным пространством над Мы утверждаем, что это пространство конечномерно. Действительно, выберем в пространстве дуальном к какой-нибудь базис Для любого элемента из имеем В самом деле,

Отсюда и

Пусть - класс вычетов, которому принадлежит элемент по модулю 3 Имеем:

Отсюда следует, что произведение не меняется ни при какой четной подстановке множителей и меняет знак при всякой нечетной подстановке. В частности, оно равно нулю, если какие-нибудь два его множителя совпадают. Последнее во всяком случае имеет место при

Но мы видели, что элементы образуют базис пространства Таким образом, заключаем, что при и что каждый элемент из является линейной комбинацией элементов

где класс вычетов, содержащий и Так как таких элементов имеется то размерность векторного пространства не превосходит Немного позже мы увидим, что размерность пространства точно равна Сейчас же мы укажем полную систему представителей классов вычетов кольца О по модулю

Определение -линейная функция называется знакопеременной,

для любой подстановки элементов множества или 1 каждый элемент из рассматривается как знакопеременный.)

Аналогично, элемент из О называется знакопеременным, если каждая его координата знакопеременная.

Функция является знакопеременной для любого элемента А из О. Действительно, при для любой подстановки элементов множества имеем:

Далее, если А — знакопеременный элемент, то Действительно, для знакопеременной функции имеем:

Таким образом, операция А идемпотентна:

Предложение 1. Любой элемент может быть представлен, и притом единственным способом, виде суммы знакопеременного элемента и элемента Действительно, имеем

элемент — знакопеременный, а

так что

Обратно, предположим, что где знакопеременный элемент, а Имеем:

и значит

Пусть — совокупность всех знакопеременных элементов из О. Очевидно, — векторное пространство над и предложение 1 показывает, что в каждом заданном классе вычетов кольца О по модулю 2 содержится один и только один элемент из .

Пусть индексы, удовлетворяющие условиям Элемент - знакопеременный и равен

где сумма распространена на все подстановки элементов множества Из этого выражения видно, что элементы соответствующие различным наборам

по элементов множества линейно независимы. Так как содержится в том же классе вычетов по модулю 3» что и (т. е. в то отсюда сразу следует, что элементов

линейно независимы в

Произведение двух знакопеременных элементов, как легко проверить на примерах, вообще говоря, не является знакопеременным элементом. Однако, существует один и только один знакопеременный элемент, принадлежащий тому же классу вычетов по модулю что и а именно, — элемент Поэтому в можно определить закон композиции формулой

Мы будем называть этот закон композиции грассмановским умножением. Ясно, что векторное пространство после введения этого закона композиции становится алгеброй над изоморфной

Определение 2. Алгебра, образованная знакопеременными полилинейными функциями, с грассмановским умножением в качестве закона композиции, называется грассмановской алгеброй пространства

Из наших предшествующих рассмотрений следует, что грассмановская алгебра есть алгебра ранга над К. Она содержит единичный элемент а также пространство дуальное к

При этом элементы базиса пространства составляют систему образующих грассмановской алгебры. Имеем

далее, элементы соответствующие различным подмножествам множества (с линейно независимы, причём каждый элемент грассмановской алгебры может быть записан в виде линейной комбинации этих элементов и единичного элемента Элемент грассмановской алгебры, являющийся знакопеременной -линейной функцией, называется однородным степени т. е. в том случае, когда рассматриваемый элемент принадлежит полю К, мы условимся называть его -линейной формой).

Применение. Пусть любые элементов из

Взяв линейных комбинаций

этих элементов, как легко видеть, будем иметь:

Если линейно независимы, то они образуют базис пространства как мы знаем,

Если теперь произвольно и линейно независимы, то мы можем найти в элементов таких, что будут линейно независимыми. Поэтому

Тем самым мы доказали

Предложение 2. Для того чтобы элементов из были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы

При замене этих элементов линейными их комбинациями их произведение в грассмановской алгебре умножается на некоторый элемент из К.

Элементы из -мерного подпространства пространства можно охарактеризовать как решения линейных уравнений

где какие-то линейно независимых элементов из При этом любая другая система уравнений, определяющих получается путем замены элементов их линейно независимыми линейными комбинациями. Поэтому подпространство можно охарактеризовать произведением причем, обратно, это произведение, с точностью до постоянного множителя, определяется подпространством .