§ II. Локальная характеристика топологической группы

Пусть — группа. Каждый элемент порождает два отображения группы на себя, а именно, левый сдвиг определяемый формулой (для всех ), и правый сдвиг определяемый формулой Имеем:

Кроме того, есть отображение, обратное к отображение, обратное к

Если базисная группа топологической группы то являются непрерывными отображениями на себя, и таковы же обратные им отображения. Поэтому и — гомеоморфные отображения пространства на себя.

Отсюда следует, что, зная полное семейство X) окрестностей нейтрального элемента мы можем, применяя к множествам, образующим , операцию или получить полное

семейство окрестностей любой точки Тем самым топология в вполне определяется заданием семейства

Но, разумеется, это семейство не может быть задано произвольно; оно должно удовлетворять определенным условиям:

I. Пересечение любых двух множеств из X содержится в X).

II. Пересечением всех множеств из является множество .

III. Если некоторое множество принадлежит то и любое содержащее его множество принадлежит X.

IV. Для каждого существует множество такое, что . Это сразу следует из непрерывности функции от в точке

V. Семейство множеств для которых совпадает с Это сразу следует из непрерывности функции в точке .

VI. Семейство множеств где а V пробегает X, совпадает с X.

Последнее свойство можно доказать следующим образом: совокупность всех окрестностей элемента совпадает с семейством множеств вида поэтому каждое множество вида можно записать также в виде и обратно.

Докажем теперь, что если на группе задано семейство X подмножеств, удовлетворяющее условиям то в можно ввести топологию, превращающую в топологическую группу с семейством в качестве семейства всех окрестностей элемента

Пусть семейство всех подмножеств группы удовлетворяющих следующему условию: для всякого содержится и некоторое множество вида Очевидно, любое объединение множеств из принадлежит а также и Из условия I непосредственно следует, что пересечение двух множеств из принадлежит Пусть V — любое множество из множество всех элементов для которых существует множество такое, что (для каждого свое). Докажем, что Действительно, пусть Пусть множество из X такое, что если то имеем откуда чем наше утверждение и доказано. Замечая, что любой левый сдвиг лишь переставляет множества из заключаем, что каждое множество вида содержит некоторое

такое, что Пусть различных элемента из тогда можно найти множество такое, что не принадлежит Согласно условиям IV и V, существует множество V, для которого ; легко проверить, что откуда Но в можно найти множества такие, что так что и Отсюда следует, что в можно определить топологию, в которой будет семейством открытых множеств. Ясно, что семейством окрестностей точки топологии служит семейство множеств

Остается доказать непрерывность отображения Пусть точка из окрестность точки (т. е. Пусть множество из X, для которого согласно условию VI, множество может быть записано в виде Имеем

чем наше утверждение и доказано.

Подмножество полного множества 43 окрестностей точки топологического пространства называется фундаментальной системой окрестностей точки если в каждом множестве из X) содержится некоторое множество из Условиям I—VI, определяющим совокупность всех окрестностей нейтрального элемента 8 топологической группы, соответствуют следующие условия для фундаментальной системы окрестностей элемента :

I. Для всяких двух существует такое, что .

II. Пересечением всех множеств из X является множество .

IV. Для каждого существует множество такое, что Для каждого существует такое, что Для каждого а каждого существует множество такое, что