§ V. Соотношения ортогональности

Пусть компактная группа Ли и матричное ее представление над полем комплексных чисел. Покажем, как можно вычислить кратность, с которой единичное представление содержится в

Введем процесс инвариантного интегрирования на нормированный, как обычно, условием

Под

мы будем понимать матрицу, коэффициентами которой служат интегралы соответствующих коэффициентов матрицы по

М можно рассматривать как матричную форму абстрактного представления, которое мы также будем обозначать через Пусть — пространство представления базис этого пространства, приводящий к матричной форме Мы утверждаем, что

для каждого и каждого вектора Действительно, пусть

Имеем

и так как

то наше утверждение следует из формул

Обратно для любого вектора такого, что при очевидно, имеем Таким образом, векторами обладающими тем свойством, что при всех служат векторы, представимые в виде и только такце векторы. Другими словами, кратность, с которой единичное представление содержится равна рангу матрицы

Пусть теперь два неприводимых представления группы над полем комплексных чисел. Положим

Как мы знаем, единичное представление не содержится в если и не эквивалентны, и содержится в ровно один раз, если эквивалентны. Поэтому в первом случае есть яулеая матрицу, а во втором — матрица ранга 1.

Коэффициентами матрицы служат произведения коэффициентов матрицы на коэффициенты Поэтому в случае неэквивалентных неприводимых представлений

для любых коэффициентов и матриц имеет место равенство

Для исследования того случая, когда и эквивалентны, предположим, что есть унитарное представление (как мы знаем, во всяком случае, эквивалентно унитарному представлению). Пусть — пространство представления -базис этого пространства, порождающий матричное предъявление Как мы знаем, пространство линейных отображений пространства в себя можно рассматривать как пространство представления Пусть элемент из отображающий при в нуль. Тогда, полагая

имеем:

Пусть тождественное отображение пространства 2 на себя (т. е. мы знаем, скалярные кратные отображения являются единственными линейными отображениями пространства в себя, перестановочными со всеми Отсюда следует, что для каждого есть скалярное кратное тождественного отображения Таким образом, заключаем, что

где число, не зависящее от k. Так как

для любой непрерывной функции на то имеем также

Из сравнения обеих формул легко следует, что , где с — некоторая константа. Значение ее нетрудно определить; действительно, так как, очевидно, для каждого то а отсюда непосредственно следует, что

Заметим еще, что для унитарного представления мы имеем

Определение 1. Пусть компактная группа Ли. Всякую функцию на служащую коэффициентом некоторого неприводимого унитарного представления группы мы будем называть простой представляющей функцией на Всякую линейную комбинацию простых представляющих функций мы будем называть представляющей функцией. Нами доказана

Теорема 2. Пусть простые представляющие функции на компактной группе Ли Если они служат коэффициентами двух неэквивалентных неприводимых представлений, то

Если же они служат коэффициентами одного и того же неприводимого представления степени то