Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ VI. Ориентированные многообразия
Пусть
есть
-мерное векторное пространство над полем
вещественных чисел. Как мы знаем, пространство
знакопеременных линейных функций на
одномерно над
Для любых двух ненулевых элементов
этого пространства имеем
где а — вещественное число, отличное от нуля. Это показывает, что элементы
из распадаются на два класса, определяемые следующим образом:
принадлежит одному и тому же классу, если
и противоположным классам, если
Составное образование, получаемое заданием пространства
и одного из этих двух классов, называется ориентированным векторным пространством.
-линейные функции из выбранного класса называются положительными
линейными функциями на этом ориентированном векторном пространстве.
Пусть
элемент произведения
(т. е. отображение множества
в
). Если множество
является базисом пространства
, то мы будем говорить, что конечная последовательность
есть упорядоченный базис; таким образом, каждый базис
различными способами представляется как множество элементов упорядоченного базиса.
Если В — ненулевой элемент из
упорядоченный базис пространства
, то
Последнее число может быть как положительным, так и отрицательным; но для любого элемента
изфп, принадлежащего тому же классу, что и В (так что
будет иметь тот же знак, что и
Таким образом, под ориентированным векторным пространством
мы понимаем пару
образованную
торным пространством
над полем вещественных чисел и классом К — одним из классов ненулевых
-линейных форм на
называется базисным векторным пространством пространства
-линейные функции, принадлежащие классу
называются положительными
-линейными функциями на
. Упорядоченный базис
пространства
называется упорядоченным базисом ориентированного пространства
в том и только в том случае, когда
для каждого
Каждое заданное векторное пространство
над полем вещественных чисел служит базисным векторным пространством точно двух ориентированных векторных пространств
Мы будем говорить, что и
противоположно ориентированы. Если
упорядоченный базис пространства
то таким же будет и каждый упорядоченный базис пространства
полученный из
четной подстановкой базисных элементов; напротив, произведя над
нечетную подстановку, мы получим упорядоченный базис пространства
Пусть теперь — многообразие размерности
касательное пространство к X) в точке
Допустим, что нам задан закон, относящий каждой точке одно определенное из двух ориентированных векторных пространств, для которых
служит базисным векторным пространством, скажем,
. Пусть, кроме того, выполнено следующее условие: если
непрерывная дифференциальная форма порядка
на
такая, что
для некоторого
является положительной
-линейной функцией на
то положительна на
также для всех
из некоторой окрестности точки
Тогда мы будем говорить, что пара, составленная из многообразия X) и закона соответствия
есть ориентированное многообразие размерности
называется базисным многообразием этого ориентированного многообразия
а ориентированное векторное пространство
ориентированным касательным пространством к
в точке
Пусть
-ориентированное многообразие и
-его базисное многообразие. Под упорядоченной системой координат в точке
многообразия
мы будем понимать конечную последовательность
функций, множество элементов которой
является системой координат в
Если
-линейные формы
положительны на ориентированном касательном пространстве к
в точке
то мы будем говорить, что
есть упорядоченная система координат в точке
на
В этом случае
будет также упорядоченной системой координат на
в некоторой окрестности точки
Не всякое многообразие является базисным для ориентированного многообразия; так, можно показать, что проективная плоскость не обладает этим свойством. Многообразие, являющееся базисным для ориентированного многообразия, называется ориентируемым. Ориентировать многообразие — значит выбрать одно из ориентированных многообразий, для которых оно служит базисным многообразием.
Пусть
-ориентированное многообразие,
-его базисное многообразие,
ориентированное касательное пространство к
в точке
и — противоположно ориентированное касательное пространство к
в
Ясно, что пара, составленная из
и закона соответствия
есть снова ориентированное многообразие; обозначим его
. Мы будем говорить, что
и
противоположно ориентированы. Ориентированные многообразия
и
— единственные, допускающие
в качестве базисного многообразия. Действительно, пусть — ориентированное многообразие, имеющее своим базисным многообразием
Обозначим через
множество тех точек
в которых служит ориентированным касательным пространством к
Пусть
упорядоченная система координат на
в
Тогда
является также упорядоченной системой координат как на
, так и на в некоторой окрестности точки
а отсюда непосредственно следует, что
открытое множество. Таким же образом
покажем, что множество
тех точек
в которых ориентированным касательным пространством к служит
также открытое. Так как множества
не пересекаются и заполняют в совокупности всё
то из связности многообразия следует, что одно из множеств
совпадает с
чем наше утверждение и доказано.
Базисное многообразие аналитической группы
всегда ориентируемо. Действительно, пусть
суть
линейно независимых форм Маурера-Карта на
Тогда
есть непрерывная дифференциальная форма порядка
на
нигде не обращающаяся в нуль. Поэтому мы можем ориентировать
потребовав, чтобы эта форма была всюду положительной.
Пусть
и
два ориентированных векторных пространства, соответственно, размерностей тип, и
их базисные векторные пространства. Пусть В — положительная
-линейная форма на
и С — положительная
-линейная форма на
Тогда Выявляется ненулевой
-линейной формой на
и мы можем ориентировать
потребовав, чтобы форма
была положительной. Легко видеть, что определенная так ориентация будет зависеть только от ориентаций пространств
и
но не от выбора форм
Полученное таким образом ориентированное векторное пространство называется произведением ориентированных векторных пространств
и
и обозначается через
Пусть теперь
— два ориентированных многообразия; обозначим ориентированное касательное пространство к
в точке
через и ориентированное касательное пространство к в точке
через
Пусть
и — базисные многообразия для
Как мы знаем, касательное пространство к
в
можно отождествить с произведением
касательного пространства
и касательного пространства
Легко видеть, что многообразие
в соединении с законом соответствия
порождает ориентированное многообразие. Мы будем обозначать это ориентированное многообразие через
и называть произведением