Главная > Теория групп Ли, том I
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ VI. Ориентированные многообразия

Пусть есть -мерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Как мы знаем, пространство знакопеременных линейных функций на одномерно над Для любых двух ненулевых элементов этого пространства имеем где а — вещественное число, отличное от нуля. Это показывает, что элементы из распадаются на два класса, определяемые следующим образом: принадлежит одному и тому же классу, если и противоположным классам, если

Составное образование, получаемое заданием пространства и одного из этих двух классов, называется ориентированным векторным пространством. -линейные функции из выбранного класса называются положительными линейными функциями на этом ориентированном векторном пространстве.

Пусть элемент произведения (т. е. отображение множества в ). Если множество является базисом пространства , то мы будем говорить, что конечная последовательность есть упорядоченный базис; таким образом, каждый базис различными способами представляется как множество элементов упорядоченного базиса.

Если В — ненулевой элемент из упорядоченный базис пространства , то Последнее число может быть как положительным, так и отрицательным; но для любого элемента изфп, принадлежащего тому же классу, что и В (так что будет иметь тот же знак, что и

Таким образом, под ориентированным векторным пространством мы понимаем пару образованную торным пространством над полем вещественных чисел и классом К — одним из классов ненулевых -линейных форм на называется базисным векторным пространством пространства -линейные функции, принадлежащие классу называются положительными -линейными функциями на . Упорядоченный базис пространства называется упорядоченным базисом ориентированного пространства в том и только в том случае, когда для каждого

Каждое заданное векторное пространство над полем вещественных чисел служит базисным векторным пространством точно двух ориентированных векторных пространств

Мы будем говорить, что и противоположно ориентированы. Если упорядоченный базис пространства то таким же будет и каждый упорядоченный базис пространства полученный из четной подстановкой базисных элементов; напротив, произведя над нечетную подстановку, мы получим упорядоченный базис пространства

Пусть теперь — многообразие размерности касательное пространство к X) в точке Допустим, что нам задан закон, относящий каждой точке одно определенное из двух ориентированных векторных пространств, для которых служит базисным векторным пространством, скажем, . Пусть, кроме того, выполнено следующее условие: если непрерывная дифференциальная форма порядка на такая, что для некоторого является положительной -линейной функцией на то положительна на также для всех из некоторой окрестности точки Тогда мы будем говорить, что пара, составленная из многообразия X) и закона соответствия есть ориентированное многообразие размерности называется базисным многообразием этого ориентированного многообразия а ориентированное векторное пространство ориентированным касательным пространством к в точке

Пусть -ориентированное многообразие и -его базисное многообразие. Под упорядоченной системой координат в точке многообразия мы будем понимать конечную последовательность функций, множество элементов которой является системой координат в Если -линейные формы положительны на ориентированном касательном пространстве к в точке то мы будем говорить, что есть упорядоченная система координат в точке на В этом случае будет также упорядоченной системой координат на в некоторой окрестности точки

Не всякое многообразие является базисным для ориентированного многообразия; так, можно показать, что проективная плоскость не обладает этим свойством. Многообразие, являющееся базисным для ориентированного многообразия, называется ориентируемым. Ориентировать многообразие — значит выбрать одно из ориентированных многообразий, для которых оно служит базисным многообразием.

Пусть -ориентированное многообразие, -его базисное многообразие, ориентированное касательное пространство к в точке и — противоположно ориентированное касательное пространство к в Ясно, что пара, составленная из и закона соответствия есть снова ориентированное многообразие; обозначим его . Мы будем говорить, что и противоположно ориентированы. Ориентированные многообразия и — единственные, допускающие в качестве базисного многообразия. Действительно, пусть — ориентированное многообразие, имеющее своим базисным многообразием Обозначим через множество тех точек в которых служит ориентированным касательным пространством к Пусть упорядоченная система координат на в Тогда является также упорядоченной системой координат как на , так и на в некоторой окрестности точки а отсюда непосредственно следует, что открытое множество. Таким же образом

покажем, что множество тех точек в которых ориентированным касательным пространством к служит также открытое. Так как множества не пересекаются и заполняют в совокупности всё то из связности многообразия следует, что одно из множеств совпадает с чем наше утверждение и доказано.

Базисное многообразие аналитической группы всегда ориентируемо. Действительно, пусть суть линейно независимых форм Маурера-Карта на Тогда есть непрерывная дифференциальная форма порядка на нигде не обращающаяся в нуль. Поэтому мы можем ориентировать потребовав, чтобы эта форма была всюду положительной.

Пусть и два ориентированных векторных пространства, соответственно, размерностей тип, и их базисные векторные пространства. Пусть В — положительная -линейная форма на и С — положительная -линейная форма на Тогда Выявляется ненулевой -линейной формой на и мы можем ориентировать потребовав, чтобы форма была положительной. Легко видеть, что определенная так ориентация будет зависеть только от ориентаций пространств и но не от выбора форм Полученное таким образом ориентированное векторное пространство называется произведением ориентированных векторных пространств и и обозначается через

Пусть теперь — два ориентированных многообразия; обозначим ориентированное касательное пространство к в точке через и ориентированное касательное пространство к в точке через Пусть и — базисные многообразия для Как мы знаем, касательное пространство к в можно отождествить с произведением касательного пространства и касательного пространства Легко видеть, что многообразие в соединении с законом соответствия порождает ориентированное многообразие. Мы будем обозначать это ориентированное многообразие через и называть произведением

ориентированных многообразий и Пусть проекции произведения соответственно, на упорядоченная система координат в на упорядоченная система координат в на легко видеть тогда, что

будет упорядоченной системой координат в на .

1
Оглавление
email@scask.ru