§ VI. Ориентированные многообразия

Пусть есть -мерное векторное пространство над полем вещественных чисел. Как мы знаем, пространство знакопеременных линейных функций на одномерно над Для любых двух ненулевых элементов этого пространства имеем где а — вещественное число, отличное от нуля. Это показывает, что элементы из распадаются на два класса, определяемые следующим образом: принадлежит одному и тому же классу, если и противоположным классам, если

Составное образование, получаемое заданием пространства и одного из этих двух классов, называется ориентированным векторным пространством. -линейные функции из выбранного класса называются положительными линейными функциями на этом ориентированном векторном пространстве.

Пусть элемент произведения (т. е. отображение множества в ). Если множество является базисом пространства , то мы будем говорить, что конечная последовательность есть упорядоченный базис; таким образом, каждый базис различными способами представляется как множество элементов упорядоченного базиса.

Если В — ненулевой элемент из упорядоченный базис пространства , то Последнее число может быть как положительным, так и отрицательным; но для любого элемента изфп, принадлежащего тому же классу, что и В (так что будет иметь тот же знак, что и

Таким образом, под ориентированным векторным пространством мы понимаем пару образованную торным пространством над полем вещественных чисел и классом К — одним из классов ненулевых -линейных форм на называется базисным векторным пространством пространства -линейные функции, принадлежащие классу называются положительными -линейными функциями на . Упорядоченный базис пространства называется упорядоченным базисом ориентированного пространства в том и только в том случае, когда для каждого

Каждое заданное векторное пространство над полем вещественных чисел служит базисным векторным пространством точно двух ориентированных векторных пространств

Мы будем говорить, что и противоположно ориентированы. Если упорядоченный базис пространства то таким же будет и каждый упорядоченный базис пространства полученный из четной подстановкой базисных элементов; напротив, произведя над нечетную подстановку, мы получим упорядоченный базис пространства

Пусть теперь — многообразие размерности касательное пространство к X) в точке Допустим, что нам задан закон, относящий каждой точке одно определенное из двух ориентированных векторных пространств, для которых служит базисным векторным пространством, скажем, . Пусть, кроме того, выполнено следующее условие: если непрерывная дифференциальная форма порядка на такая, что для некоторого является положительной -линейной функцией на то положительна на также для всех из некоторой окрестности точки Тогда мы будем говорить, что пара, составленная из многообразия X) и закона соответствия есть ориентированное многообразие размерности называется базисным многообразием этого ориентированного многообразия а ориентированное векторное пространство ориентированным касательным пространством к в точке

Пусть -ориентированное многообразие и -его базисное многообразие. Под упорядоченной системой координат в точке многообразия мы будем понимать конечную последовательность функций, множество элементов которой является системой координат в Если -линейные формы положительны на ориентированном касательном пространстве к в точке то мы будем говорить, что есть упорядоченная система координат в точке на В этом случае будет также упорядоченной системой координат на в некоторой окрестности точки

Не всякое многообразие является базисным для ориентированного многообразия; так, можно показать, что проективная плоскость не обладает этим свойством. Многообразие, являющееся базисным для ориентированного многообразия, называется ориентируемым. Ориентировать многообразие — значит выбрать одно из ориентированных многообразий, для которых оно служит базисным многообразием.

Пусть -ориентированное многообразие, -его базисное многообразие, ориентированное касательное пространство к в точке и — противоположно ориентированное касательное пространство к в Ясно, что пара, составленная из и закона соответствия есть снова ориентированное многообразие; обозначим его . Мы будем говорить, что и противоположно ориентированы. Ориентированные многообразия и — единственные, допускающие в качестве базисного многообразия. Действительно, пусть — ориентированное многообразие, имеющее своим базисным многообразием Обозначим через множество тех точек в которых служит ориентированным касательным пространством к Пусть упорядоченная система координат на в Тогда является также упорядоченной системой координат как на , так и на в некоторой окрестности точки а отсюда непосредственно следует, что открытое множество. Таким же образом

покажем, что множество тех точек в которых ориентированным касательным пространством к служит также открытое. Так как множества не пересекаются и заполняют в совокупности всё то из связности многообразия следует, что одно из множеств совпадает с чем наше утверждение и доказано.

Базисное многообразие аналитической группы всегда ориентируемо. Действительно, пусть суть линейно независимых форм Маурера-Карта на Тогда есть непрерывная дифференциальная форма порядка на нигде не обращающаяся в нуль. Поэтому мы можем ориентировать потребовав, чтобы эта форма была всюду положительной.

Пусть и два ориентированных векторных пространства, соответственно, размерностей тип, и их базисные векторные пространства. Пусть В — положительная -линейная форма на и С — положительная -линейная форма на Тогда Выявляется ненулевой -линейной формой на и мы можем ориентировать потребовав, чтобы форма была положительной. Легко видеть, что определенная так ориентация будет зависеть только от ориентаций пространств и но не от выбора форм Полученное таким образом ориентированное векторное пространство называется произведением ориентированных векторных пространств и и обозначается через

Пусть теперь — два ориентированных многообразия; обозначим ориентированное касательное пространство к в точке через и ориентированное касательное пространство к в точке через Пусть и — базисные многообразия для Как мы знаем, касательное пространство к в можно отождествить с произведением касательного пространства и касательного пространства Легко видеть, что многообразие в соединении с законом соответствия порождает ориентированное многообразие. Мы будем обозначать это ориентированное многообразие через и называть произведением

ориентированных многообразий и Пусть проекции произведения соответственно, на упорядоченная система координат в на упорядоченная система координат в на легко видеть тогда, что

будет упорядоченной системой координат в на .