§ II. Представления компактных групп Ли

Пусть топологическая группа. Под (матричным) представлением этой группы мы понимаем непрерывное гомоморфное отображение ее либо в группу («комплексное представление»), либо в группу («вещественное представление»).

Теорема 1. Любое вещественное представление компактной группы Ли эквивалентно некоторому ортогональному представлению, т. е. представлению ортогональными матрицами. Любое комплексное представление эквивалентно некоторому унитарному представлению, т. е. представлению унитарными матрицами.

Рассмотрим случай комплексного представления компактной группы Ли Положим

Матрица всегда положительно определенная (см. доказательство предложения 1 § V главы I, стр. 28). Коэффициенты этой матрицы — непрерывные функции от на

Применим теперь процесс инвариантного интегрирования на нормированного обычным условием

(см. § VIII главы V, стр. 247). Положим

понимая под этим матрицу, коэффициентами которой служат интегралы по от соответствующих коэффициентов матрицы Так как

для каждого то также

т. е. матрица — эрмитова. Для любого вектора а из степень нашего представления) имеем:

Так как матрица эрмитово положительна для каждого то а следовательно, и

т. е. матрица эрмитово положительная. При эгом, поскольку матрица положительно определенная, имеем

откуда и

таким образом, положительно определенная матрица.

Для любого фиксированного элемента в силу инвариантности интегрирования, имеем:

Как было обнаружено в процессе доказательства предложения 1 § V главы 1, стр. 28, положительно определенная матрица

может быть записана в виде где матрица а — также положительно определенная. Положим

Из равенств

легко следует, что единичная матрица. А это и означает, что представление унитарное.

Если теперь -вещественное представление, то вещественная матрица, и мы можем считать матрицу а также вещественной. Поэтому матрицы вещественные и унитарные, т. е. ортогональные, что и завершает доказательство теоремы 1.

Следствие. Каждое представление компактной группы Ли — полупростое,

В силу теоремы 1, мы можем ограничиться рассмотрением унитарного или ортогонального представления нашей компактной группы Ли

В комплексном случае можно считать, что пространством представления служит Пусть любое его инвариантное подпространство и подпространство пространства С», образованное векторами такими, что для всех При имеем:

для всех Это показывает, что и инвариантное подпространство пространства

Так как лишь при

Пусть - базис подпространства Векторы те векторы, компоненты которых удовлетворяют линейным однородным уравнениям

отсюда следует, что размерность подпространава не меньше Так как то размерность суммы тогда не меньше Поэтому и доказываемое следствие вытекает из предложения 2 § I, стр. 253.

В вещественном случае доказательство совершенно аналогично.