§ VI. Характеры

Определение 1. Пусть -матричное представление группы След матрицы рассматриваемый как функция элемента называется характером представления

Предложение 1. Два эквивалентных представления имеют один и тот же характер. Если

сопряженние элементы группы то для характера у любого представления этой группы.

Оба утверждения непосредственно следуют из формулы

справедливой для любой матрицы и любой матрицы а такой, что существует.

Очевидно, соотношение эквивалентности представлений определяет разбиение совокупности всех представлений на классы взаимно эквивалентных представлений.

Определение 2. Классом представлений группы называется совокупность, составленная из всех представлений, эквивалентных одному из них.

Из предложения 1 следует, что каждому классу представлений группы соответствует некоторая функция, определенная на О, — характер любого представления из этого класса. Эта функция называется характером класса.

Пусть — два класса представлений группы над полем К. Из результатов следует, что:

1) представление сопряженное с представлением принадлежит классу , зависящему только от

2) сумма представления и представления принадлежит классу зависящему только от

3) кронекеровское произведение принадлежит классу зависящему только от и этом

Далее, операции сложения и кронекеровского умножения в области классов представлений ассоциативны, а кронекеровское умножение, кроме того, дистрибутивно относительно сложения. Однако классы представлений не образуют кольца, поскольку вычитание, вообще говоря, невозможно.

Будем обозначать характер класса представлений через

Предложение 1. Для любых двух классов представлений и имеем:

Действительно, легко видеть, что для любых двух матриц и имеют место равенства

Если класс представлений содержит неприводимое (либо полупростое) представление, то каждое представление из этого класса является неприводимым (полупростым). В этом случае мы будем сам класс называть неприводимым (полупростым).

Каждый полупростой класс может быть представлен в виде где — неотрицательные целые числа, Неприводимые классы. есть кратность, с которой представление из класса содержится в представлении из класса Это число зависит только от классов и оно называется кратностью, с которой содержится в

Предложение 2. Пусть и два неприводимых класса представлений компактной группы Ли над полем комплексных чисел. Тогда

Действительно, есть сумма элементов главной диагонали матрицы где любое представление из класса и наше утверждение непосредственно вытекает из теоремы 2, стр. 270.

Следствие 1. Кратность, с которой неприводимый класс представлений компактной группы Ли содержится в классе равна

Действительно, в силу следствия теоремы 1, стр. 257, Я можно записать в виде где неприводимые классы; поэтому 2 и наше утверждение непосредственно следует из предложения 2.

Следствие 2. Два класса представлений компактной группы Ли совпадают в том только в том) случае, если они имеют один и тот же характер.

Действительно, следствие 1 показывает, что если классы и имеют один и тот же характер, то каждый неприводимый класс входит в и с одинаковой кратностью.