§ XII. Производная группа

Пусть алгебра Ли над полем К. Векторное пространство, натянутое на элементы вида есть, очевидно, идеал в

Определение 1. Идеал, натянутый в алгебре Ли на элементы вида называется производной алгеброй алгебры и обозначается обычно через

Алгебра Ли называется коммутативной, если для любых двух ее элементов Производная алгебра любой алгебры Ли характеризуется следующими свойствами:

Предл ожение 1. Если — производная алгебра алгебры Ли а, то факторалгебра коммутативна. Обратно, любой идеал для которого факторалгебра коммутативна, содержит производную алгебру.

Действительно, пусть — два элемента из и их смежные классы по модулю 1). Условие

эквивалентно условию

чем предложение 1 и доказано.

Пусть теперь — аналитическая группа ее алгебра Ли. Производной алгебре алгебры соответствует некоторая аналитическая подгруппа 9 группы называемая производной группой группы Она всегда инвариантна, но не обязательно замкнута.

Пусть а — факторалгебра а есть алгебра Ли аддитивной группы где ранг алгебры а. Пусть естественное гомоморфное отображение алгебры на а, относящее любому элементу X его смежный класс по модулю Существуют окрестность нейтрального элемента в и непрерывное ее отображение о в такие, что

Поэтому если достаточно близки к Но может быть записано, для достаточно малых и в виде где стремится к нулю, когда стремятся к Так как есть нейтральный элемент группы то для и принадлежащих достаточно малой окрестности нейтрального элемента имеем Так как группа связна, то элементы из составляют систему ее образующих. Отсюда легко заключаем, что содержит коммутаторную группу группы 0, т. е. группу, порожденную коммутаторами для всех

Докажем, что, обратно, каждый элемент из принадлежит коммутаторной группе Так как группа связна, то достаточно доказать это для элементов некоторой окрестности нейтрального элемента в 0.

Возможно найти конечное число пар элементов таких, что элементы образуют базис Пусть элементы дополняют до базиса всей алгебры Выберем каноническую систему координат, скажем, относительно этого базиса и пусть V — кубическая окрестность точки относительно этой системы. Положим

. Функции аналитичны при Мы можем записать их в виде

где функции аналитичны при Так как то из формулы (5) § X, стр. 179, легко следует, кроме того, что

Поэтому мы можем найти значение переменной 5 такое, что при Положим

и

Тогда имеем а также

а также

при достаточно малых вторая формула имеет место потому, что принадлежит коммутаторной группе, а значит также группе

Так как то теорема о неявных функциях показывает, что каждый элемент такой, что может быть записан в виде если достаточно малы. Но все эти условия выполняются для элементов надлежащей окрестности нейтрального элемента . А так как всегда принадлежит коммутаторной группе группы то наше утверждение доказано.

Замечание. Если группа односвязна, то проекции алгебры на соответствует непрерывное гомоморфное отображение группы Ядро этого гомоморфизма является замкнутой подгруппой группы имеющей своей алгеброй Ли Связная компонента нейтрального элемента в этой подгруппе совпадает с с другой стороны, эта компонента, очевидно, является замкнутой подгруппой. Поэтому: коммутаторная группа односвязной аналитической группы является замкнутой ее подгруппой.

Как можно показать на примерах, предположение об односвязности группы нельзя здесь опустить.

Совершенно тем же методом, какой мы применили к можно доказать, что если односвязная аналитическая группа - идеал в ее алгебре Ли и существует аналитическая группа, алгебра Ли которой изоморфна то аналитическая подгруппа группы имеющая I) своей алгеброй Ли, замкнута.