§ VIII. Инвариантное интегрирование на группе

Пусть группа Ли и компонента нейтрального элемента Тогда есть базисная топологическая группа некоторой аналитической группы Мы уже отметили, что базисное многообразие аналитической группы всегда ориентируемо. Пусть суть линейно независимых форм Маурера-Картана (где размерность группы ); тогда

есть непрерывная дифференциальная форма порядка на нигде не обращающаяся в нуль. Мы можем ориентировать так, чтобы форма была всюду положительной. Тогда мы получаем на процесс интегрирования непрерывных функций, равных нулю у бесконечности.

Пусть любой элемент группы и - соответствующий левый сдвиг. есть аналитическое изоморфное отображение многообразия на себя. Так как

то сохраняет ориентацию. Поэтому, согласно формуле (6) § VII, стр. 240, имеем:

что, ввиду произвольности элемента можно записать также в виде

В этой формуле представляет собой любую функцию на равную нулю у бесконечности.

Определение интегрирования легко распространить на функции, определенные на всей группе а не только на и снова равные нулю у бесконечности (т. е. на непрерывные функции, каждая из которых равна нулю вне какого-нибудь компактного множества на Действительно, пусть такая функция. Выберем в каждой компоненте группы по точке и для каждого определим функцию на формулой

Каждая из функций равна нулю у бесконечности на При этом лишь конечное число их может быть отлично от нуля. В самом деле, пусть С — компактное подмножество из вне которого равна нулю. Так как группа Ли, то является открытой подгруппой в и факторгруппа дискретна. Образ множества С при естественной проекции группы на как компактное подмножество дискретного множества, есть конечное множество, а это показывает, что С пересекает лишь конечное число компонент группы Тогда при есть тождественный нуль.

Таким образом, сумма

имеет смысл. Мы утверждаем, что ее значение не зависит от выбора элементов Действительно, пусть - какой-нибудь

другой элемент из функция, определенная формулой

Имеем Положим, это — элемент из и мы имеем

чем наше утверждение и доказано.

Таким образом, мы можем определить интеграл от на формулой

Это интегрирование, очевидно, обладает свойствами, выражаемыми формулами (5) и стр. 239—240. Кроме того, для любого элемента из имеем:

где левый сдвиг, соответствующий элементу Действительно, полагая имеем

Пусть — смежный класс по модулю содержащий тогда

откуда

Так как то вместе с пробегает совокупность всех компонент, и доказывает нашу формулу.

Наконец, заметим, что мы ориентировали так, чтобы представляла собой всюду положительную дифференциальную ферму» Отсюда следует, что если функция всюду О, то и Действительно, достаточно доказать это для функции равной нулю вне некоторого относительно компактного кубического подмножества V из Мы можем найти точку и упорядоченную систему координат на такие, что V будет кубической окрестностью точки относительно этой системы. Пусть, для точек

Из положительности формы следует, что положительная функция. Поэтому из формулы, определяющей в этом случае интеграл непосредственно видно, что этот интеграл если Вместе с тем мы видим, что если всюду и не есть тождественный нуль, то

Принятый способ обозначения

В том случае, когда интеграция производится все время относительно одной и той же лево-инвариантной дифференциальной формы порядка интеграл часто обозначается через где символ переменной интеграции можно

заменять любым другим, лишь бы это не приводило к конфликту с прочими обозначениями.

При этом способе обозначения инвариантный характер интегрирования выражается формулой

где любой элемент из

Влияние правых сдвигов

Пусть - какой-нибудь фиксированный элемент из Рассмотрим сначала отображение

группы на себя. Оно индуцирует аналитическое изоморфное отображение аналитической группы на себя. Поэтому есть снова лево-инвариантная дифференциальная форма порядка , и ее можно записать в виде где константа, зависящая от Поэтому для любой функции на равной нулю у бесконечности, имеем:

или

Так как

С другой стороны, очень легко видеть, что функция от аналитична в нейтральном элементе и в частности непрерывна, Так как отображение есть гомоморфное отображение группы в мультипликативную группу вещественных чисел то заключаем, что функция всюду непрерывна.

Формула (1), в соединении с лево-инвариантностью нашего интегрирования, дает:

Случай компактной группы

Если группа компактна, то константа 1 может быть проинтегрирована по относительно любой (положительной) левоинвариантной дифференциальной формы порядка есть положительная постоянная. Заменяя на мы видим, что наш процесс интегрирования всегда можно так нормировать, чтобы

Имея дело с интегрированием на компактной группе, мы всегда будем предполагать, что это нормирование выполнено.

Применяя формулу (2) к функции получаем, что т. е. лево-инвариантное интегрирование на компактной группе также право-инвариантно.

Пусть правый сдвиг, соответствующий элементу Так как правый сдвиг перестановочен с любым левым сдвигом, то есть снова лево-инвариантная форма; поскольку процесс интегрирования, определенный формой право-инвариантен, мы должны иметь т. е. форма сама правоинвариантна.

Пусть теперь отображение группы на себя; есть право-инвариантная дифференциальная форма порядка и значит где константа. Так как

что приводит к формуле