§ VIII. Инвариантное интегрирование на группе
Пусть
группа Ли и
компонента нейтрального элемента
Тогда
есть базисная топологическая группа некоторой аналитической группы
Мы уже отметили, что базисное многообразие
аналитической группы всегда ориентируемо. Пусть
суть
линейно независимых форм Маурера-Картана (где
размерность группы
); тогда
есть непрерывная дифференциальная форма порядка
на
нигде не обращающаяся в нуль. Мы можем ориентировать
так, чтобы форма
была всюду положительной. Тогда мы получаем на
процесс интегрирования непрерывных функций, равных нулю у бесконечности.
Пусть
любой элемент группы
и
- соответствующий левый сдвиг.
есть аналитическое изоморфное отображение многообразия
на себя. Так как
то
сохраняет ориентацию. Поэтому, согласно формуле (6) § VII, стр. 240, имеем:
что, ввиду произвольности элемента
можно записать также в виде
В этой формуле
представляет собой любую функцию на
равную нулю у бесконечности.
Определение интегрирования легко распространить на функции, определенные на всей группе
а не только на
и снова равные нулю у бесконечности (т. е. на непрерывные функции, каждая из которых равна нулю вне какого-нибудь компактного множества на
Действительно, пусть
такая функция. Выберем в каждой компоненте
группы
по точке
и для каждого
определим функцию
на
формулой
Каждая из функций
равна нулю у бесконечности на
При этом лишь конечное число их может быть отлично от нуля. В самом деле, пусть С — компактное подмножество из
вне которого
равна нулю. Так как
группа Ли, то
является открытой подгруппой в
и факторгруппа
дискретна. Образ множества С при естественной проекции группы
на
как компактное подмножество дискретного множества, есть конечное множество, а это показывает, что С пересекает лишь конечное число
компонент группы
Тогда
при
есть тождественный нуль.
Таким образом, сумма
имеет смысл. Мы утверждаем, что ее значение не зависит от выбора элементов
Действительно, пусть
- какой-нибудь
другой элемент из
функция, определенная формулой
Имеем
Положим,
это — элемент из
и мы имеем
чем наше утверждение и доказано.
Таким образом, мы можем определить интеграл от
на
формулой
Это интегрирование, очевидно, обладает свойствами, выражаемыми формулами (5) и
стр. 239—240. Кроме того, для любого элемента
из
имеем:
где
левый сдвиг, соответствующий элементу
Действительно, полагая
имеем
Пусть
— смежный класс по модулю
содержащий
тогда
откуда
Так как
то
вместе с
пробегает совокупность всех компонент,
и доказывает нашу формулу.
Наконец, заметим, что мы ориентировали
так, чтобы
представляла собой всюду положительную дифференциальную ферму» Отсюда следует, что если функция
всюду О, то и
Действительно, достаточно доказать это для функции
равной нулю вне некоторого относительно компактного кубического подмножества V из
Мы можем найти точку
и упорядоченную систему координат
на
такие, что V будет кубической окрестностью точки
относительно этой системы. Пусть, для точек
Из положительности формы
следует, что
положительная функция. Поэтому из формулы, определяющей в этом случае интеграл
непосредственно видно, что этот интеграл
если
Вместе с тем мы видим, что если
всюду
и не есть тождественный нуль, то
Принятый способ обозначения
В том случае, когда интеграция производится все время относительно одной и той же лево-инвариантной дифференциальной формы
порядка
интеграл
часто обозначается через
где символ
переменной интеграции можно
заменять любым другим, лишь бы это не приводило к конфликту с прочими обозначениями.
При этом способе обозначения инвариантный характер интегрирования выражается формулой
где
любой элемент из
Влияние правых сдвигов
Пусть
- какой-нибудь фиксированный элемент из
Рассмотрим сначала отображение
группы
на себя. Оно индуцирует аналитическое изоморфное отображение аналитической группы
на себя. Поэтому
есть снова лево-инвариантная дифференциальная форма порядка
, и ее можно записать в виде
где
константа, зависящая от
Поэтому для любой функции
на
равной нулю у бесконечности, имеем:
или
Так как
С другой стороны, очень легко видеть, что функция
от
аналитична в нейтральном элементе и в частности непрерывна, Так как отображение
есть гомоморфное отображение группы
в мультипликативную группу вещественных чисел то заключаем, что функция
всюду непрерывна.
Формула (1), в соединении с лево-инвариантностью нашего интегрирования, дает:
Случай компактной группы
Если группа
компактна, то константа 1 может быть проинтегрирована по
относительно любой (положительной) левоинвариантной дифференциальной формы порядка
есть положительная постоянная. Заменяя
на
мы видим, что наш процесс интегрирования всегда можно так нормировать, чтобы
Имея дело с интегрированием на компактной группе, мы всегда будем предполагать, что это нормирование выполнено.
Применяя формулу (2) к функции
получаем, что
т. е. лево-инвариантное интегрирование на компактной группе также право-инвариантно.
Пусть
правый сдвиг, соответствующий элементу Так как правый сдвиг перестановочен с любым левым сдвигом, то
есть снова лево-инвариантная форма; поскольку процесс интегрирования, определенный формой
право-инвариантен, мы должны иметь
т. е. форма
сама правоинвариантна.
Пусть теперь
отображение
группы
на себя;
есть право-инвариантная дифференциальная форма порядка
и значит
где
константа. Так как
что приводит к формуле