§ VII. Интегральные многообразия инволютивного распределения (локальная теория)

Пусть многообразие, система координат в точке какая-нибудь кубическая окрестность точки относительно этой системы и -ширина куба Пусть, далее, любое натуральное число какие-нибудь чисел, удовлетворяющих неравенствам

Обозначим через совокупность всех точек координаты которых удовлетворяют уравнениям

Мы можем определить многообразие имеющее своим точечным множеством, потребовав, чтобы функции, индуцируемые на функциями образовывали систему координат в каждой точке из . Очевидно, есть подмногообразие многообразия Мы будем говорить, что есть сечение куба V, определенное уравнениями

Теорема 1. Пусть -мерное аналитическое инволютивное распределение на -мерном многообразии. Для любой точки из X) существуют система координат и кубическая окрестность V (ширины а) относительно этой системы, удовлетворяющие следующим условиям: 1) ; 2) сечение куба определяемое уравнениями где любые чисел таких, что интегральное многообразие распределения

Докажем сперва следующую лемму,

Лемма 1. Пусть X — инфинитезимальное преобразование, определенное и аналитичное в окрестности точки и такое, что Тогда существуют система координат кубическая окрестность точки относительно этой системы, удовлетворяющие следующем

условиям: определено на и совпадает там с инфинитезимальным преобразованием, символом которого (относительно координат служит

Мы можем найти систему координат такую, что Пусть кубическая окрестность точки относительно этой системы, такая, что X определено и аналитично на и пусть с — ширина куба Для точек имеем

где функции определены и аналитичны в кубе, определенном неравенствами Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

Используя теорему существования для систем аналитических дифференциальных уравнений, получаем следующий результат: существуют число и система функция определенных и аналитичных в кубе выделяемом неравенствами

2) равенства дают решение системы (1) с начальными условиями

Докажем, что функциональный определитель

Имеем:

С другой стороны, при поскольку

Из этих формул непосредственно и вытекает наше утверждение.

Отсюда следует, что существуют система координат и кубическая окрестность точки относительно этой системы такие, что и

Тогда для имеем:

откуда в окрестности

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Пусть -базис распределения вблизи Так как то мы можем применить к лемму 1. Пусть система координат в окрестность точки удовлетворяющая условиям леммы 1 для кроме того, столь малая, что образуют базис пространства в каждой точке Если то ясно, что сечение окрестности определенное уравнениями

— любые числа, меньшие по абсолютной величине, чем ширина куба является интегральным многообразием распределения Это доказывает теорему 1 для случая Доказательство для общего случая мы проведем индукцией по Пусть и предположим, что теорема 1 верна для распределений размерности Очевидно, что на V можно найти аналитических функций таких, что

Положим тогда образуют базис пространства в каждой точке Пусть X — сечение куба определенное уравнением При векторы являются касательными к следовательчо, индуцируют в некоторые инфинитезимальные преобразования Пространство натянутое на векторы является пересечением пространства с касательным пространством к X в Распределение очевидно, аналитично на С другой стороны, из предложения стр. 128, непосредственно следует, что инволютивно. Так как имеет

размерность то к можно применить наше предположение индукции. Мы можем найти на систему координат в и кубическую окрестность V точки относительно этой системы, обладающие следующими свойствами:

для любых чисел меньших по абсолютной величине, чем ширина а куба V, сечение эгого куба, определяемое уравнениями

является интегральным многообразием распределения При этом можно предполагать, что а не превосходит ширины куба Пусть теперь -совокупность всех точек удовлетворяющих следующим условиям: точка с координатами лежит в Для каждого положим

Очевидно, является системой координат в а - кубической окрестностью точки относительно этой системы. Кроме того, так как зависят только от символом преобразования (относительно координат служит Имеем:

откуда

Так как инволютивно, то

где функции аналитичяы на Поэтому

Так как всякое является интегральным многообразием распределения то на X, т. е. для Функции рассматриваемые как функции от удовлетворяют системе (2) линейных однородных дифференциальных уравнений. Из теоремы единственности для систем дифференциальных уравнений следует тогда, что тождественно на Это означает, что всякое сечение куба V, определенное системой уравнений вида

является интегральным многообразием распределения Тем самым теорема 1 доказана и для распределений размерности

Предложение 1. Пусть аналитическое инволютивное распределение на многообразии . Если интегральные многообразия и распределения имеют общую точку то существует интегральное многообразие распределения содержащее и являющееся открытым подмного: образием одновременно для и

Будем пользоваться обозначениями теоремы 1. Пусть — сечение куба V, определенное уравнениями

Достаточно будет доказать, что любое интегральное многообразие распределения содержащее точку обладает открытым подмногообразием, являющимся также открытым подмногообразием в .

Так как тождественное отображение многообразия в 40 непрерывно, то множество является относительно открытым в Поскольку локально связно, связная компонента С точки (в топологии многообразия является относительно открытым множеством в Поэтому С есть точечное множество открытого подмногообразия из являющегося интегральным многообразием распределения

Обозначим через инфинитезимальное преобразование, имеющее своим символом (относительно координат

Тогда векторы Для каждого образуют базис пространства С другой стороны, если то,

как мы знаем из предложения стр. 119, можно из выбрать функций, индуцирующих в систему координат в Так как

то ни одна из этих функций не может иметь индекса что доказывает, что индуцируют в систему координат в любой точке из

Векторы образуют базис касательного пространства к Из равенств следует, что дифференциал функции, которую индуцирует в равен нулю; поэтому каждая функция есть константа на (см. предложение 4 § IV, стр. 121 —122). Это означает, что подмножество из . Так как функции индуцируют в систему координат в каждой точке из открытое подмногообразие в . Тем самым предложение 1 доказано.