§ XIII. Компактные коммутативные группы

Предложение 1. Компактная связная коммутативная группа Ли (9 размерности изоморфна (как топологическая группа) -мерному тору

Действительно, пусть алгебра Ли группы Так как коммутативна, то для всех элементов и из Следовательно, совпадает с алгеброй Ли группы Так как односвязна, то, в силу теоремы 2 главы IV, стр. 166, она служит тогда универсальной накрывающей группой для Но хорошо известно, что компактная связная группа, локалы изоморфная группе изоморфна группе

Пусть вещественное число, определенное по модулю 1 (т. е. класс вычетов аддитивной группы вещественных чисел по годгруппе целых чисел), и пусть какое-нибудь вещественное число, классом которого по модулю 1 служит

Так как значение зависит только от то мы можем положить

Отображение

очевидно, является представлением группы .

Любой элемент может быть представлен в виде где Положим

каждое будет представлением группы При этом

есть точное представление этой группы. Отображение

для любых целых есть представление группы мы обозначим его через Имеем:

если все числа положительны, то есть кронекеровское произведение раз взятого представления раз взятого представления

Имеем:

согласно предложению 3 § VII, стр. 275, есть достаточная система представлений группы Следовательно, каждое неприводимое представление этой группы содержится в некотором представлении, полученном кронекеровским перемножением представлений взятых, каждое, должное число раз. Отсюда непосредственно следует, что каждое неприводимое представление группы имеет вид где должным образом выбранные целые числа.

В случае группы все неприводимые представления имеют степень 1. Поэтому кронекеровское произведение двух неприводимых представлений снова неприводимо. Отсюда следует, что неприводимые представления образуют группу относительно кронекеровского умножения, причем операцией обращения в этой группе является переход к комплексно сопряженному представлению. Эта группа есть произведение экземпляров аддитивной целых чисел. непосредственно проверить, что группа изоморфна группе всех неприводимых унитарных представлений системы это — частный случай знаменитой понтрягинской теоремы двойственно Тот же флкт можно вывести и из теоремы 5, стр. 308; таким образом, последняя теорема представляет собой далеко идущее обобщение теоремы Пошрягина.

В заключение заметим, что применение теоремы Петера-Вейля к группе доставляет следующую хорошо известную аппроксимационную теорему:

Пусть -непрерывная функция от вещественных переменных, имеющая по каждому переменному период 1. Для любого числа существует тригонометричсский полином

такой, что

для всех значений