§ VI. Подмногообразия. Распределения

Определение 1. Многообразие называется подмногообразием многообразия если выполнены следующие условия: 1) точки многообразия содержатся среди точек многообразия X и 2) тождественное отображение многообразия регулярно в каждой точке из

Так, например, открытое подмногообразие многообразия ЯЗ (определенное в § II на стр. 112—113) есть подмногообразие и в смысле данного сейчас определения. В этом случае тождественное отображение на является также гомеоморфизмом, но важно усвоить, что это, вообще говоря, не имеет места в случае произвольного подмногообразия Однако это отображение, во всяком случае, всегда непрерывно.

Пусть тождественное отображение подмногообразия в многообразие Если и -функция, аналитичная в на то функция аналитична в на Мы будем говорить, что индуцируется функцией на Из предложения 1 § IV, стр. 119, следует, что можно найти систему координат на X такую, что следы функций на размерность многообразия будут образовывать систему координат в на Пусть функция, аналитичная в на ее можно выразить, в окрестности точки на в виде функции от координат Функция

будет тогда аналитичной в на X, причем будет совпадать с в окрестности точки в Таким образом, любая функция, аналитичная в точке индуцируется в окрестности точки на некоторой функцией, аналитичной в на X).

Однако не всякая функция, всюду определенная и аналитичная на индуцируется даже просто непрерывной функцией на X).

Пусть касательное пространство к X в точке подмногообразия Дифференциал изоморфно отображает касательное пространство к в на векторное подпространство 2) пространства Пространство также называют (хотя и неправомерно) касательным пространством к в

Пусть X — любое аналитическое инфинитезимальное преобразование на X такое, что для каждой точки Так как всюду регулярно, то существует, и притом только

одно, аналитическое инфинитезимальное преобразование на такое, что

Говорят, что инфинитезимальное преобразование индуцировано преобразованием X на Из предложения 2 § V, стр. 128, следует, что если аналитические инфинитезимальные преобразования на -индуцированные ими преобразования на то будет индуцировать преобразование

Определение 2. -мерное векторное подпространство касательного пространства к многообразию 40 в точке называется -мерным касательным элементом к 40. Точка называемой точкой прикосновения этого касательного элемента. Закон, относящий каждой точке касательный элемент размерности с точкой прикосновения называется -мерным распределением.

Пусть — -мерное распределение на и -мерное подпространство касательного пространства, относимое этим распределением точке

Определение 3. Мы будем говорить, что распределение аналитическое в точке если выполнены следующие условия: существуют окрестность V точки и система инфинитезимальных преобразований определенных и аналитичных на V, такие, что в каждой точке векторы образуют базис пространства Система называется тогда локальным базисом распределения вблизи точки

Замечание. На многообразии может существовать не всякое аналитическое распределение. Так, например, можно доказать, что на четырехмерной сфере не существует одномерного аналитического распределения.

Так как на -мерном многообразии всегда существует очевидное -мерное распределение, то из сделанного только что замечания следует, что не для всякого аналитического распределения возможно найти систему аналитических инфинитезимальных преобразований, образующих его базис в любой точке.

Определение Пусть аналитическое распределение на многообразии X). Подмногообразие многообразия 40 называется интегральным многообразием распределения если для каждой точки совпадает с касательным пространством к в

Пусть распределение и инфинитезимальные преобразования, определенные в окрестности V точки и такие, что принадлежат для всех точек Если принадлежит интегральному многообразию распределения то индуцируют в некоторые преобразования значит, -преобразование . Поэтому Это показывает, что распределение может обладать интегральным многообразием, проходящим через точку лишь при выполнении некоторых условий.

Мы будем говорит что инфинитезимальное преобразование определенное и аналитичное в окрестности точки принадлежит распределению если для всех точек этой окрестности. Так, например, любое инфинитезимальное преобразование, входящее в базис распределения вблизи принадлежит этому распределению.

Определение 5. Мы будем гозорить, что аналитическое распределение инволютивно, если выполнено следующее условие: вместе с любыми двумя аналитическими инфинитезималъными преобразованиями определенными на одном и том же открытом множестве и принадлежащими распределению этому распределению принадлежит и инфинитезимальное преобразование

Из предшествующих замечаний следует, что если каждая точка многообразия 40 принадлежит некоторому интегральному многобразию распределения то необходимо инволютивно. В следующих параграфах мы будем заняты главным образом доказательством обратного предложения.

В заключение этого параграфа докажем

Предложение 1. Пусть система аналитических инфинитезимальных преобразований, определенных на многообразии X), обладающая следующими свойствами: 1) пространство натянутое на векторы имеет одну и ту же размерность во всех точках и 2) для любые двух инфинитезимальное преобразование выражается линейной комбинацией конечного числа элементов из с коэффициентами, являющимися функциями на 40. Тогда соответствие есть аналитическое инволютивное распределение.

Пусть точка из X); в можно найти элементов таких, что линейно независимы и потому натянутое на них пространство совпадает со всем Пусть -система координат в Прямоугольная

матрица, образованная функциями

имеет в ранг по непрерывности она имеет тот же ранг во всех точках некоторой кубической окрестности V точки Отсюда следует, что распределение аналитично, с базисом вблизи

Пусть X — любое аналитическое инфинитезимальное преобразование, определенное в окрестности точки и принадлежащее распределению Мы можем предполагать, что X определено на V, причем

Мы утверждаем, что функции аналитичны на Действительно, они удовлетворяют линейным уравнениям

коэффициенты которых аналитичны на V, причем матрица этих коэффициентов имеет ранг во всех точках из Поэтому значения функций в окрестности любой точки могут быть найдены путем решения системы уравнений, надлежащим образом выбранной из (1), что и доказывает их аналитичность.

Пусть какое-нибудь аналитическое инфинитезимальное преобразование, определенное на V и принадлежащее распределению Мы хотим доказать, что также принадлежит этому распределению. Очевидно, достаточно провести доказательство для того случая, когда

где любые две аналитические функции на V, а любые два из индексов 1, Имеем:

есть линейная комбинация элементов из и потому принадлежит распределению следовательно, и принадлежит распределению Тем самым предложение 1 доказано.