§ VIII Линейные симплектические группы

Рассмотрим снова векторное пространство введенное в предыдущем параграфе. Коэффициенты вектора можно представить в виде где комплексные числа (1 см. стр. 32).

Отнесем теперь вектору а вектор из имеющий своими координатами Это соответствие не нарушает сложения. Далее, если вектору соответствует вектор то вектору соответствует вектор вещественные числа), так как

Отсюда непосредственно следует, что каждому эндоморфизму пространства соответствует эндоморфизм пространства такой, что

Кроме того, произведению двух эндоморфизмов пространства отвечает произведение соответствующих эндоморфизмов пространства

Соответствие устанавливает изоморфизм группы с некоторой подгруппой группы Эту последнюю подгруппу мы будем называть линейной симплектической группой. Так как совокупность всех элементов линейной симплектической группы является подмножеством в то ее можно рассматривать как некоторое подпространство пространства Поэтому мы можем ввести в топологию, требуя, чтобы отображение было гомеоморфизмом. Говоря об как о топологическом пространстве, мы всегда будем подразумевать эту топологию.

Дадим теперь прямое алгебраическое определение линейной симплектической группы. Пусть -любая матрица из и пусть соответствующая матрица в Для любого вектора из есть вектор с координатами

Пусть теперь вектор соответствует вектору и пусть еще какой-нибудь вектор из а соответствующий вектор из Тогда, как показывает несложный подсчет, имеем:

Кроме того, где

Так как то мы видим, что линейные подстановки (1) и (2), выполняемые над переменными х и у, оставляют неизменными величины Первое

из этих свойств показывает, что принадлежит второе свойство можно выразить, сказав, что оставляет инвариантной билинейную форму

Обратно, пусть будет унитарная матрица, оставляющая инвариантным выражение Этой матрице (в силу установленного выше соответствия между векторами пространств можно отнести отображение пространства в себя так, что будет соответствовать если а соответствует а. Имеем (где произвольные векторы из Это не доказывает, что есть эндоморфизм пространства нам нужно показать, кроме того, что для любого кватерниона Достаточно доказать, что

для любого Имеем:

чем и доказано наше утверждение, так как всякий вектор можно представить в виде Мы доказали

Предложение 1. Линейная симплектическая группа есть группа всех унитарных матриц из оставляющих инвариантной билинейную форму

Очевидно, эта группа является замкнутым подмножеством в Таким образом:

Теорема 1а. Пространство компактно. Рассмотрим теперь совокупность всех матриц оставляющих инвариантной билинейную форму

но не обязательно унитарных. Матрицей коэффициентов этой билинейной формы служит

где единичная матрица порядка Таким образом, наше требование может быть выражено равенством

Так как определитель матрицы не равен нулю, то из (3) непосредственно следует, что каждая матрица регулярна. Кроме того, произведение двух матриц из а также матрица, обратная к матрице из снова принадлежат Поэтому является подгруппой группы

Определение 1. Подгруппа группы состоящая из матриц удовлетворяющих условию (3), называется комплексной симплектической группой и обозначается через

В мы видели, что матрицы надлежащей окрестности нейтрального элемента можно представить в виде где Исследуем теперь, при каких условиях мы будем иметь

Условие может быть записано в виде Так как и то мы видим, что наверняка будет принадлежать группе если т. е.

Обратно, пусть окрестность нуля в удовлетворяющая условиям леммы 1 § II, стр. 17 — 18, и Принимая во внимание, что мы видим, что также удовлетворяет условиям указанной леммы и что, кроме того, Тогда из очевидно, следует, что

Матрицы X, для которых образуют в векторное подпространство 3. Если, мы запишем X в форме

где матрицы порядка то условие сведется к

Это показывает, что имеет над С размерность можно также рассматривать как пространство размерности над

Матрицы для которых являются матрицами из удовлетворяющими дополнительному условию Они образуют векторное пространство размерности над полем вещественных чисел. Таким образом, мы доказали

Предложение 2. В каждой из групп существует окрестность нейтрального элемента, гомеоморфная открытому подмножеству декартова пространства надлежащей размерности. Этими размерностями служат для для

Пусть теперь — любая матрица из положим

Пусть соответствующая матрица из Если вектор из соответствующий вектору из то будет вектором, соответствующим вектору Полагая

имеем

Несложный подсчет показывает, что

Из этих формул непосредственно следует, что матрица удовлетворяющая условиям соответствует матрице удовлетворяющей условию

Отображение, относящее каждой матрице из соответствующую матрицу из является изоморфным отображением кольца на некоторое подкольцо из . С другой стороны, этим отображением можно определить в топологию (требуя, чтобы наше отображение было гомеоморфизмом). Если — соответствующая матрица из то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда Положим и пусть совокупность всех матриц для которых Из сказанного нами следует, что соответствие топологически отображает некоторую окрестность нуля в на окрестность нейтрального элемента в