Кроме того, произведению
двух эндоморфизмов
пространства
отвечает произведение
соответствующих эндоморфизмов пространства
Соответствие
устанавливает изоморфизм группы
с некоторой подгруппой группы
Эту последнюю подгруппу мы будем называть линейной симплектической группой. Так как совокупность всех элементов линейной симплектической группы является подмножеством в
то ее можно рассматривать как некоторое подпространство пространства
Поэтому мы можем ввести в
топологию, требуя, чтобы отображение
было гомеоморфизмом. Говоря об
как о топологическом пространстве, мы всегда будем подразумевать эту топологию.
Дадим теперь прямое алгебраическое определение линейной симплектической группы. Пусть
-любая матрица из
и пусть
соответствующая матрица в
Для любого вектора
из
есть вектор
с координатами
Пусть теперь вектор
соответствует вектору
и пусть
еще какой-нибудь вектор из а
соответствующий вектор из
Тогда, как показывает несложный подсчет, имеем:
Кроме того,
где
Так как
то мы видим, что линейные подстановки (1) и (2), выполняемые над переменными х и у, оставляют неизменными величины
Первое
из этих свойств показывает, что
принадлежит
второе свойство можно выразить, сказав, что
оставляет инвариантной билинейную форму
Обратно, пусть
будет унитарная матрица, оставляющая инвариантным выражение
Этой матрице (в силу установленного выше соответствия между векторами пространств
можно отнести отображение
пространства
в себя так, что
будет соответствовать
если а соответствует а. Имеем
(где
произвольные векторы из
Это
не доказывает, что
есть эндоморфизм пространства
нам нужно показать, кроме того, что
для любого кватерниона
Достаточно доказать, что
для любого
Имеем:
чем и доказано наше утверждение, так как всякий вектор
можно представить в виде
Мы доказали
Предложение 1. Линейная симплектическая группа есть группа всех унитарных матриц из
оставляющих инвариантной билинейную форму
Очевидно, эта группа является замкнутым подмножеством в
Таким образом:
Теорема 1а. Пространство
компактно. Рассмотрим теперь совокупность
всех матриц
оставляющих инвариантной билинейную форму
но не обязательно унитарных. Матрицей
коэффициентов этой билинейной формы служит
где
единичная матрица порядка
Таким образом, наше требование может быть выражено равенством
Так как определитель матрицы
не равен нулю, то из (3) непосредственно следует, что каждая матрица
регулярна. Кроме того, произведение двух матриц из
а также матрица, обратная к матрице из
снова принадлежат
Поэтому
является подгруппой группы
Определение 1. Подгруппа группы
состоящая из матриц
удовлетворяющих условию (3), называется комплексной симплектической группой и обозначается через
В
мы видели, что матрицы надлежащей окрестности нейтрального элемента
можно представить в виде
где
Исследуем теперь, при каких условиях мы будем иметь
Условие
может быть записано в виде
Так как
и
то мы видим, что
наверняка будет принадлежать группе
если
т. е.
Обратно, пусть
окрестность нуля в
удовлетворяющая условиям леммы 1 § II, стр. 17 — 18, и
Принимая во внимание, что
мы видим, что также удовлетворяет условиям указанной леммы и что, кроме того,
Тогда из
очевидно, следует, что
Матрицы X, для которых
образуют в
векторное подпространство 3. Если, мы запишем X в форме