§ 9. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Энергия кулоновского взаимодействия системы дискретных зарядов

где — расстояние между зарядами , а — потенциал поля в точке, где находится Множитель 1/2 связан с тем, что при суммировании каждая пара встречается дважды. При переходе к непрерывному распределению зарядов выражение (9.1) превращается в

Интересно отметить, что физический смысл последнего соотношения теперь уже несколько иной. В то время как (9.1) описывает только энергию взаимодействия разных зарядов формула

(9.2) включает также и собственную энергию каждого из них (т. е. взаимодействие их элементов, взаимодействие «внутри» каждого из зарядов). В терминах поля можно сказать, что (9.2) описывает полную энергию электрического поля системы, тогда как (9.1)- только часть этой энергии.

Преобразуем (9.2), используя тождество

Для любой ограниченной системы зарядов первый интеграл стремится к нулю при - так как потенциал такой системы убывает на больших расстояниях, по крайней мере как , а как (см. § 5).

Величину можно интерпретировать теперь как плотность энергии электрического поля:

Проделанный вывод справедлив только для электростатического поля (в общем случае возможен поток энергии излучения на бесконечности), тем не менее полученный результат оказывается общим (см. § 55).

Для примера вычислим энергию поля равномерно заряженного шара радиуса а. С помощью выражения (6.10) найдем

Согласно теории относительности, такое поле имеет массу Отсюда вытекает, в частности, что любая частица с массой и зарядом не может иметь размер, меньший

так как масса частицы не может быть меньше массы ее поля. Этот результат справедлив, конечно, только в пределах применимости классической механики. Поэтому величина (9.6) называется классическим «радиусом» частицы. На расстояниях такого порядка классическая электродинамика становится неприменимой. Фактически она нарушается уже на расстояниях из-за квантовых эффектов. Для электрона классический радиус см, а квантовый радиус см. Отметим, что квантовый «размер» электрона проявляется только в некоторых низкочастотных процессах (например, в атомах), тогда как при столкновении электрона высокой энергии с другими частицами он ведет себя как «точечный». Результаты экспериментов свидетельствуют о том, что в последнем случае «размер» электрона не превышает см (см. § 13).