§ 57. ЧАСТИЦА В НЕОДНОРОДНОМ ПОЛЕ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ОБОБЩЕННОГО МОМЕНТА

Рассмотрим вначале движение заряженной частицы в однородном магнитном поле, которое изменяется с течением времени, например возрастает. Как будет двигаться частица в таком поле? Усредненное за много оборотов движение такой частицы можно рассматривать как ток в контуре без сопротивления. Тогда орбита частицы в растущем магнитном поле должна стягиваться таким образом, чтобы оставался постоянным охватываемый ею магнитный поток: . При этом энергия частицы возрастает пропорционально полю: .

Рассмотрим уравнения движения частицы, ограничиваясь случаем аксиально-симметричного поля. В цилиндрических координатах уравнение для азимутального момента можно записать в виде

Первое слагаемое в правой части дает момент вихревого электрического поля, причем частная производная указывает, что берется

изменение потока через неподвижный контур — окружность радиуса Остальные два слагаемых дают момент силы Лоренца. Преобразуем это выражение, используя условие . Отсюда

после чего вся правая часть (57.1) сворачивается в полную производную магнитного потока в соответствии с законом Фарадея:

Интегрируя, получаем закон сохранения:

Величина эта называется обобщенным моментом частицы в магнитном поле. С точки зрения механики к обычному моменту добавляется слагаемое, зависящее от магнитного поля. На языке электротехники можно считать, что сохраняется не просто магнитный поток внешнего поля, а его сумма с величиной, зависящей от импульса частицы. Подчеркнем, что закон сохранения обобщенного момента справедлив только в аксиально-симметричном магнитном поле, что было использовано при записи уравнений (57.1), (57.2). В остальном конфигурация магнитного поля может быть произвольной.

Задача 1. Найти условие движения частицы по окружности постоянного радиуса в аксиально-симметричном магнитном поле, изменяющемся во времени.

Пусть в момент частица имеет только азимутальную компоненту импульса, значение которой согласовано с величиной магнитного поля на траектории-окружности радиуса Траектория не изменится, если в любой момент времени Но согласно (57.4) — среднее поле внутри траектории.

Нетрудно видеть, что все три равенства выполняются одновременно, если для любого

это так называемое «условие необходимое для ускорения частицы в нарастающем во времени магнитном поле при постоянстве радиуса ее траектории (ускоритель бетатрон).

Если магнитное поле слабо неоднородно и медленно изменяется во времени, то можно приближенно считать траекторию частицы окружностью. Пусть начало координат совпадает с центром этой окружности. Тогда и обобщенный момент

можно выразить только через поток или только через импульс:

Таким образом, в этом случае можно говорить о законе сохранения магнитного потока внешнего поля. Подчеркнем, что равенство (57.5) считается приближенным, так как в неоднородном переменном поле траектория частицы не является точной окружностью.

Приближенное выражение (57.5) для обобщенного момента оказывается пропорциональным магнитному моменту частицы (34.11):

где — масса частицы. Таким образом, мы получили приближенный закон сохранения магнитного момента частицы. Этот закон позволяет сравнительно просто исследовать движение частицы в слабо неоднородном поле.

Пусть магнитное поле аксиально-симметрично и убывает с радиусом. В таком поле заряженная частица «дрейфует» по азимуту, т. е. перпендикулярно градиенту Н, как это показано на рис. VII.1. Дрейфовое движение возникает вследствие того, что кривизна траектории частицы зависит от радиуса. Скорость дрейфа тем меньше, чем меньше ларморовский радиус частицы (см. задачу 2 ниже). Дрейфовое движение частицы также можно рассматривать как некоторый ток и считать, что охватываемый им магнитный поток сохраняется при изменении магнитного поля. В уравнениях механики это соответствует точному сохранению (в аксиально-симметричном поле) обобщенного момента (57.4). При этом существуют такие две фазы ларморовского вращения, для которых механический момент (см. рис. VII.1). Таким образом, имеет место точное сохранение магнитного потока, охватываемого окружностью радиуса , где — расстояние центра ларморовской окружности от оси симметрии поля, или радиус дрейфовой траектории частицы. При изменении магнитного поля во времени радиус дрейфовой траектории изменяется по закону Механизм радиального движения частицы связан с ее

Рис. VII.1. Траектория положительно заряженной частицы в неоднородном аксиально-симметричном магнитном поле.

Рис. VII.2. Траектория заряженной частицы в магнитной ловушке.

дрейфом в вихревом электрическом поле, появляющемся в переменном магнитном поле.

Предположим теперь, что магнитное поле постоянно во времени, но изменяется в пространстве вдоль силовых линий (рис. VII.2). Если частица движется в этом направлении, то магнитный поток, охватываемый ее дрейфовой траекторией, также должен сохраняться. Но это означает, что частица движется приблизительно (с точностью по силовой линии магнитного поля, точнее, по некоторой поверхности вращения, образованной равноудаленными от оси симметрии силовыми линиями магнитного поля. Траектория движения является в этом случае некоторой комбинацией схематических рис. VI 1.1, VII.2, полное изображение которой наверняка запутало бы читателя.

В произвольном магнитном поле (не обязательно аксиально-симметричном) магнитный поток, охватываемый дрейфовой траекторией частицы, также приближенно сохраняется, если только магнитное поле мало изменяется в течение дрейфового периода.

Задача 2. Найти скорость дрейфа в неоднородном магнитном поле.

Понятие дрейфа частицы предполагает, что его скорость и ускорение достаточно малы. Поэтому в качестве модели дрейфового движения можно принять ларморовский «кружок», на который действуют средние (по ларморовской окружности) силы. В первом приближении эти силы должны взаимно уравновешиваться. В неоднородном магнитном поле на «кружок» действуют три силы:

1) сила, связанная с градиентом магнитного поля и определяемая магнитным моментом частицы (см. ),

2) центростремительная сила, обеспечивающая движение кружка вдоль искривленной силовой линии радиуса где — масса частицы, — единичный вектор главной нормали к силовой линии;

3) сила Лоренца, связанная с дрейфовой скоростью Найдем вначале вектор кривизны силовой линии поля в области, . Записав с учетом того, что найдем Поскольку то окончательно

Запишем с учетом (34.11) уравнение баланса сил

Поскольку то, умножив это уравнение векторно на Н, получим

где — полная скорость частицы.

Рассмотрим теперь движение заряженной частицы вдоль силовой линии. Мы можем использовать два закона сохранения — точный

закон сохранения энергии:

(предполагается, что магнитное поле постоянно во времени) и приближенный закон сохранения магнитного момента:

Подставляя это выражение в (57.8), найдем

где — координата вдоль силовой линии и . В таком виде последнее выражение совпадает с законом сохранения энергии для частицы в поле с потенциальной энергией . В частности, поле, конфигурация которого изображена на рис. VII.2, эквивалентно некоторой потенциальной «яме». Поэтому в таком поле частицы заперты также и в направлении силовых линий, и поле такой конфигурации называется магнитной ловушкой. Механизм отражения частицы от магнитных «пробок» связан с действием поперечных составляющих неоднородного магнитного поля. Условие удержания частиц вытекает из (57.10) и имеет вид или Здесь — угол наклона вектора скорости частицы к силовой линии, — величина магнитного поля. Таким образом, в каждой точке пространства внутри магнитной ловушки имеется так называемый «конус потерь» с раствором Ловушка может удерживать лишь частицы, направление скорости которых лежит вне этого конуса. Заметим, что в действительности конус потерь несколько шире, так как магнитный момент частицы сохраняется лишь приближенно, и близкие к конусу частицы могут с течением времени покинуть ловушку. Такие магнитные ловушки применяются для удержания горячей плазмы в экспериментах, связанных с управляемым термоядерным синтезом.

Для дрейфового характера движения частицы, когда выполняются соотношения (57.5) - (57.7), (57.9), (57.10), необходимо, чтобы магнитное поле мало изменялось на размере порядка ларморовского радиуса частицы:

Оказывается, что закон сохранения обобщенного момента позволяет с хорошей точностью описывать движение частиц и в случае обратного (также сильного) неравенства. Это магнитные поля с «тонкой» границей. Примером может служить катушка с током, размеры которой много меньше ларморовского радиуса частицы в магнитном поле катушки (рис. VII.3). Такое устройство обладает еще и фокусирующими свойствами. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть частица движется вначале параллельно оси катушки на расстоянии от нее таком, что — диаметр катушки, — максимальное значение поля на оси

Рис. VII.3. Движение заряженной частицы в магнитном поле катушки с током поле на оси катушки; 2 — проекция траектории частицы на плоскость .

катушки. В этом случае поле слабо изменяется на размере и закон сохранения (57.4) дает

Движение частицы по радиусу описывается уравнением

Подставляя в него (57.12), получим

Производя замену и пренебрегая изменением (см. (57.17), (57.18) ниже), запишем

и, воспользовавшись последним неравенством, найдем приближенное значение на выходе из поля:

Здесь координата отсчитывается от центра катушки. Таким образом, частица, пройдя поле, отклоняется в плоскости на угол, пропорциональный ее начальной координате Это означает, что пучок частиц, влетающих в такое поле параллельно его оси симметрии, соберется (ом. рис. VI 1.3) в одну точку на оси катушки, называемую фокусом. Поэтому рассматриваемое устройство называется аксиальной магнитной линзой, а расстояние — фокусным расстоянием. Нетрудно видеть, что фокусное расстояние равно

этот результат справедлив при

что в данном случае хорошо выполняется, поскольку протяженность поля катушки порядка ее диаметра поэтому

Именно условие (57.18) и позволяет принять в (57.16) координату частицы постоянной при пересечении поля а скорость Такая линза называется тонкой.

В § 89 будет показано, что такая система способна передавать изображение (в данном случае с помощью пучка заряженных частиц — «электронная оптика»).

Задача 3. Описать движение частицы, влетающей в цилиндрический соленоид параллельно его оси, если диаметр соленоида много меньше ларморовского радиуса частицы в поле соленоида.

Поскольку граница поля тонкая, движение частицы в области однородного поля описывается уравнением (57.15) с постоянными Н и Решение этого уравнения при заданных выше начальных условиях есть

Таким образом, частица касается оси в точках Этот результат становится очевидным, если рассмотреть движение частицы в плоскости и учесть, что при пересечении тонкой границы поля частица согласно (57.4) приобретает азимутальный импульс так что — частица в плоскости описывает окружность, радиус которой точно вдвое меньше координаты частицы на входе в соленоид (рис. VII.4). Конечно, здесь мы пренебрегли углом и смещением набираемыми частицей при пересечении границы. На выходе из соленоида длины траектория частицы будет направлена под углом.

к оси соленоида. Поскольку этот угол пропорционален то такой соленоид также фокусирует поток частиц. Он является аналогом толстой линзы (см. § 90).

Задача 4. Оценить фокусное расстояние тонкой аксиальной электростатической линзы (рис. VII.5).

Поле линзы обладает аксиальной симметрией, поэтому аналогично (57.2) можно записать

где — поле на оси линзы. Из уравнения движения нерелятивистской частицы, пересекающей линзу,

Рис. VI1.4. Движение частиц в соленоиде (плоскость ).

Рис. VII.5. Схема аксиальной электростатической линзы.

найдем изменение ее радиальной скорости на выходе из линзы

где — значения -компоненты скорости частицы на входе в линзу, выходе из нее и вблизи центральной диафрагмы соответственно, — средние значения напряженности поля на оси линзы в ее левой и правой половинках. Поскольку где — разность потенциалов и расстояния между диафрагмами линзы, то

— кинетическая энергия частицы . Отсюда аналогично (57.17) получим

Такая линза пригодна только для фокусировки частиц невысокой энергии, так как в этом случае при технически реализуемых напряженностях полей фокусное расстояние еще не слишком велико. Например, для см и фокусное расстояние составляет . Нарушение условия приводит к нелинейной зависимости от в результате чего фокусное расстояние становится функцией координаты (аберрации линзы).

Рассмотренные выше линзы являются относительно слабыми, длиннофокусными. Это связано с квадратичным характером зависимости фокусного расстояния от малого параметра — отношения энергии (импульса) частицы к напряженности поля в линзе (см. (57.17), (57.19)). Поэтому аксиальные линзы применяются для фокусировки пучков частиц относительно невысоких энергий. Для фокусировки релятивистских частиц применяются линзы с чисто поперечными полями. Подобная «идеальная» магнитная линза должна обладать строго азимутальным полем, линейно возрастающим с радиусом. Однако создать такое поле в пространстве, свободном от тока,

Рис. VII.6. Схема литиевой (а) и параболической (б) линз. Стрелками показано растекание тока, штриховой линией — траектория частицы.

невозможно, так как это противоречит уравнению Максвелла Для ультрарелятивистских частиц, способных проходить значительные толщины вещества без существенных потерь энергии, возможно решение в виде литиевых и параболических линз, предложенных Будкером (рис. VII.6). Первая из них — цилиндр с током постоянной плотности, выполненный из легкого металла — лития в тонкой стальной оболочке, вторая — параболоид вращения.

Задача 5. Найти фокусное расстояние тонких литиевой и параболической линз.

В литиевой линзе — радиус цилиндра. Частица в линзе набирает угол откуда

Для параболической линзы поле между токонесущими поверхностями есть а угол, набранный частицей при пересечении линзы, линейно растет с радиусом: так что

где а — постоянная параболоида вращения

Другим возможным решением является применение полей квадрупольной конфигурации. Линзы с такими полями фокусируют по одному направлению и дефокусируют по другому (задача 6). Пара (дублет) квадрупольных линз обладает только фокусирующими свойствами (см. § 90).

Задача 6. Найти фокусное расстояние тонкой квадрупольной линзы (рис. VII.7).

Поле магнитной квадрупольной линзы, полюса которой ограничены гиперболическими поверхностями а — минимальное расстояние между противоположными полюсами), можно найти, введя скалярный магнитный потенциал Тогда т. е. константа есть градиент поля. Уравнения движения частицы в плоскости

Рис. VII.7. Схемы магнитной (а) и электростатической (б) квадрупольных линз. Траектории частиц перпендикулярны плоскости рисунка. Штриховой линией показан контур интегрирования для нахождения поля.

дают в приближении тонкой линзы

Связь между градиентом поля линзы и током 7 в ее обмотках найдем из закона циркуляции поля, выбрав в качестве контура интегрирования отрезки линий пренебрегая полем в ярме (см. рис. VII.7, а):

Поле электростатической линзы (см. рис. VII.7, б) описывается потенциалом

Аналогично найдем

где

При выборе знаков токов и потенциалов полюсов в соответствии с рис. VII.7 обе линзы дефокусируют по и фокусируют по у.

С помощью электромагнитного поля можно создавать и другие устройства, действующие аналогично оптическим зеркалам и призмам, т. е. отражающие или отклоняющие заряженные частицы. Аналогия между геометрической оптикой и механикой не связана только лишь с «похожестью» действия тех или иных устройств — в ее основе лежат более общие свойства движения электромагнитных волн и заряженных частиц (см. § 88). В частности, поэтому многие представления, развитые в геометрической оптике, были перенесены на появившуюся значительно позднее оптику заряженных частиц.