§ 73. ПРЕЛОМЛЕНИЕ ВОЛНЫ

Рассмотрим теперь поведение волны на границе двух прозрачных (без потерь) сред с разными и (рис. Х.4). В этом случае происходит, как известно, не только отражение, но и преломление волны, т. е. волна проходит частично во вторую среду. Интенсивность и поляризация как отраженной, так и преломленной волн находятся по-прежнему из граничных условий на поля. Для ТМ-волны (с учетом выбора положительных направлений, как показано на рис. Х.4) запишем

Последнее условие можно выразить через Е, используя связь полей в волне Получаем

Так как ГМ-волна не содержит нормальных составляющих магнитного поля, граничные условия дают только три уравнения (73.1) для четырех неизвестных: . Недостающее уравнение можно получить из баланса энергии. Однако было бы неправильно написать это уравнение просто для векторов Пойнтинга так как поперечные сечения пучков, вообще говоря, различны (рис. Х.5). Поэтому баланс энергии имеет вид Если — площадь пересечения пучков на границе двух сред, то Окончательно имеем

Формально это уравнение можно было бы вывести, вычисляя

Рис. Х.4. Прохождение электромагнитной волны через границу двух диэлектриков.

Рис. Х.5. Баланс энергии при прохождении волны через границу двух диэлектриков.

потоки энергии непосредственно на границе двух сред. Однако мы уже знаем, что в общем случае векторы Пойнтинга нельзя складывать по обычным правилам из-за явления интерференции. Выражая составляющие полей через их абсолютные величины и углы, получим окончательную систему уравнений:

Чтобы упростить решение этой системы, сделаем естественное предположение (которое проверим ниже), что

как и при отражении от металла. Тогда второе и третье уравнения дают закон преломления:

где — показатель преломления. Теперь из первого и третьего уравнений можем найти

Коэффициент отражения, определенный как отношение полного потока энергии в отраженной волне к этой же величине в падающей,

Определенный аналогичным образом коэффициент прохождения

Закон сохранения энергии требует, чтобы что действительно выполняется. Этим самым проверено, что полученное решение удовлетворяет четвертому уравнению (73.4) и оправдана принятая выше гипотеза (73.5).

Обращаясь теперь к ГЕ-волне, заметим, что она отличается от ГМ-волны заменой (см. рис. Х.4, б). Граничные условия для Е и Н также переходят друг в друга, если заменить . Поэтому можем сразу написать решение для ТЕ-волны, произведя указанные замены в (73.7) — (73.9):

Соотношения (73.7) — (73.10) называются формулами Френеля по имени французского физика, получившего их в 1823 г.

Отметим следующие особенности отражения и преломления волны на границе двух сред. Во-первых, интенсивность преломленной волны обращается в нуль при т. е. «скользящий луч» полностью отражается. Это почти очевидно. Менее очевидно, что волна может полностью отражаться и при наклонном падении, если выполнено условие

Это явление называется полным внутренним отражением, так как оно возможно только при т. е. при переходе в оптически менее плотную среду. Мы рассмотрим это явление подробнее в § 74.

Явление полного внутреннего отражения хорошо известно. Менее известно, что при определенном угле падения возможно

полное прохождение волны. Рассмотрим сначала ТМ-волну. Полагая найдем этот угол:

Последнее неравенство есть условие существования эффекта. Если соотношение (73.12) принимает более простой вид

Это явление было открыто в начале прошлого века Малюсом, Био и Брюстером. В связи с этим угол определяемый соотношением (73.13), называют обычно углом Брюстера. Отметим, что полное прохождение волны не зависит от ее направления, а углы Брюстера для прямого и обратного направлений связаны простым соотношением откуда . С другой стороны, в силу обратимости законов распространения волны (см. § 66) угол падения должен быть одновременно углом преломления для Таким образом, последнее соотношение связывает также углы падения и преломления при полном прохождении волны:

Для ТЕ-волны в среде с такое полное прохождение волны невозможно. Действительно, из (73.12) с заменой получаем

Пример зависимости коэффициента отражения от угла падения для границы воздух — стекло приведен на рис. Х.6. При достаточно больших коэффициенты отражения заметно отличаются. Поэтому плоскость поляризации, вообще говоря, поворачивается. Если падающая волна «неполяризована», т. е. представляет собой

Рис. Х.6. Характеристические кривые прохождения света через границу воздух — стекло. коэффициенты отражения для и ТМ-поляризации; — коэффициент отражения не-поляризованного света; — угол преломления; Ф — угол падения; угол Брюстера равен

суперпозицию волн со всевозможными направлениями поляризации и случайными фазами, то после отражения возникает некоторая преимущественная поляризация. При отражении под углом Брюстера неполяризованная волна превращается в чистую ТЕ-волну.

При нормальном падении поле отраженной волны для обеих поляризаций

и векторы антипараллельны при параллельны при <(еще. раз подчеркнем, что положительными считаются направления Е, Е, при которых соответствующая волна распространяется в «правильном» направлении). Коэффициенты отражения и прохождения при нормальном падении

Например, для перехода воздух — стекло

В заключение этого параграфа отметим, что все полученные выше формулы справедливы для любой зависимости полей от времени, т. е. для любого спектра волны, в частности для белого света. Это связано с тем, что граничные условия должны выполняться в каждый момент времени. Отсюда вытекает, что все три волны на границе двух сред должны иметь одинаковую зависимость от времени (для неподвижной границы). В частности, частоты всех трех волн должны быть одинаковы.