§ 52. ЦЕПИ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

Закон электромагнитной индукции позволяет рассчитывать электрические цепи с индуктивностями. Рассмотрим, например, простейшую цепь, включающую все три основных элемента — сопротивление, емкость и индуктивность (рис. VI.9). Сумма падений напряжения на сопротивлении и емкости равна сумме действующих в цепи ЭДС, т. е. внешней ЭДС и ЭДС индукции

Продифференцировав это выражение по времени, получим уравнение для тока

где — собственная частота контура без учета сопротивления, — коэффициент затухания.

Рассмотрим вначале простейший случай колебаний без затухания и внешней Тогда (52.2) сводится к уравнению гармонических колебаний, решение которого есть

Оказывается, что решение таких уравнений более удобно представлять в комплексном виде. Например, вместо (52.3) можно написать

Это выражение также удовлетворяет уравнению (52.2) при . Преимущество такой записи состоит в том, что вычисления с экспоненциальными функциями более просты, чем с гармоническими. В частности, при дифференцировании экспонента просто умножается на постоянный множитель. Физическое решение равно при этом действительной части комплексного решения:

где фаза отнесена к комплексной амплитуде

Применение комплексных величин проиллюстрируем на примере свободных колебаний в контуре с затуханием. Решение (52.2) при ищем в виде где — некоторая постоянная.

Рис. VI.9. Электрическая цепь, содержащая сопротивление, индуктивность и емкость.

Подставляя это решение в (52.2), получим алгебраическое уравнение для

решение которого дает искомую частоту колебаний:

Мнимая часть частоты характеризует затухание колебаний, поскольку при подстановке в решение она дает действительную экспоненту:

Комплексные постоянные определяются начальными условиями. Вместо того чтобы брать действительную часть (52.8), можно наложить на дополнительное условие что автоматически приводит к действительному выражению для тока (52.8): , где . С учетом условия в решении (52.8) остается два произвольных параметра, которые определяются двумя начальными условиями

Вернемся теперь к неоднородному уравнению (52.2). При произвольной функции его частное решение можно записать в виде интеграла

Справедливость формулы (52.9) легко проверить подстановкой. Для приложений важное значение имеет частный случай гармонической . Тогда частное решение (52.2) можно искать в виде (вынужденные колебания контура). В отличие от свободных колебаний частота колебаний теперь известна, а амплитуда — нет. Ее можно найти подстановкой решения в уравнение

В частном решении нет произвольных постоянных, и поэтому оно не удовлетворяет начальным условиям. Для получения общего решения нужно прибавить к частному — решение однородного уравнения, т. е. свободных колебаний. Зависимость имеет характерный вид резонансной кривой, ширина которой порядка , где величина называется добротностью контура, поскольку она определяет скорость затухания его свободных колебаний (см. (52.8)).

В случае сложных электрических цепей получается система дифференциальных уравнений, которая решается аналогичным

методом. Вместо этого можно, однако, использовать более физический метод решения, введя понятие так называемых комплексных сопротивлений. Действительно, при использовании комплексных выражений для токов и напряжений отношение падения напряжения на индуктивности к току через нее есть некоторая комплексная постоянная , откуда

Величина называется индуктивным сопротивлением. Аналогично для емкости и емкостное сопротивление равно

В сложной цепи все эти сопротивления складываются по обычным правилам. Например, для цепи на рис. VI.9

что в точности совпадает с (52.10).

Расчет сложных цепей с комплексными сопротивлениями производится на основе законов Кирхгофа (см. § 24).