Глава XI. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

§ 77. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Свойства электромагнитной волны (как, вообще говоря, и любой другой волны), ее взаимодействие со средой, методы генерации и наблюдения существенно зависят от ее частоты или длины волны. Простейшими свойствами обладает, как правило, монохроматическая

волна, поле которой изменяется во времени и в пространстве по гармоническому закону; иными словами, такая волна имеет определенные частоту и волновое число. Что же делать, если волна немонохроматическая? Как исследовать ее свойства, например ее взаимодействие с веществом? Оказывается, что такую волну всегда можно представить как суперпозицию конечного или бесконечного числа монохроматических волн. Такой метод исследования называется спектральным разложением (волны), или, более точно, фурье-разложением (Жан Батист Жозеф Фурье, 1822 г.). Последнее предполагает разложение именно на гармонические составляющие, тогда как термин. спектральное разложение подразумевает более общую процедуру разложения по, самым различным функциям (например, сферические, функции Бесселя и др.). Отметим, что спектральное разложение составляет основу квантово-механического описания физических явлений.

Как же производится фурье-разложение? Рассмотрим плоскую волну. Пусть в начальный момент времени задан ее вектор-потенциал Пусть, далее, поле является периодическим с периодом I. Оказывается, что такую функцию можно представить в виде ряда

Действительно, каждый член этого ряда имеет период а значит и I. Иными словами, такой ряд представляет некоторую функцию с периодом I. Условия сходимости таких рядов выясняются в математической теории фурье-разложения. Основной результат этой теории сводится, по существу, к тому, что любое реальное поле можно разложить в ряд Фурье.

Постоянные коэффициенты характеризуют амплитуды и фазы фурье-гармоник (или фурье-компонент) поля Если описывать поле действительной функции то коэффициенты должны удовлетворять дополнительному соотношению

где звездочка означает комплексно-сопряженную величину. В случае плоской волны можно, однако, рассматривать комплексную величину как полный двумерный вектор поля в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны (см. § 69). В таком случае ограничение (77.2) отпадает.

Для вычисления коэффициента умножим обе части равенства (77.1) на и проинтегрируем по периоду. Найдем

Все остальные слагаемые в (77.1) исчезают, поскольку интеграл

от не равен нулю только для Множитель введен для того, чтобы выражения (77.1) и (77.3) выглядели более симметрично. Эта симметрия станет полной в случае непрерывного спектра (см. § 78). Введение такого множителя не обязательно и не является общепринятым. Можно, например, исключить этот множитель из (77.1), тогда в (77.3) появится множитель 1/1.

Для действительной функции ряд Фурье можно записать также в виде

Коэффициенты обоих рядов связаны друг с другом следующими соотношениями:

Набор коэффициентов который можно рассматривать как некоторую функцию называют фурье-спектром поля или просто спектром (поля). Иногда различают амплитудный и фазовый спектры. В рассмотренном случае периодического поля спектр называется дискретным, или точечным, так как волновое число принимает лишь отдельные (дискретные) значения.

Совершенно аналогично производится фурье-разложение по времени, приводящее к представлению колебаний поля в некоторой точке пространства в виде набора гармонических функций от аргументов где — период колебаний поля.

Поскольку каждая из гармонических составляющих как по х, так и по представляет монохроматическую волну, величины связаны обычным соотношением

где знаки соответствуют разным направлениям распространения волны, причем в общем случае имеет место суперпозиция волн обоих направлений.

Задача 1. Найти зависимость диэлектрической проницаемости среды от частоты поля.

Зависимость диэлектрической проницаемости от частоты определяется динамикой атомных электронов. Характерной особенностью этой динамики являются гармонические колебания электронов с разными частотами, как это вытекает из вида атомных спектров. Поэтому в качестве простейшей модели диэлектрика можно взять набор различных осцилляторов с собственными частотами и плотностью соответствующих осцилляторов Уравнение движения электрона для каждого осциллятора:

Рис. XI.1. Бесконечная последовательность прямоугольных импульсов и ее спектр, а — функция ; б - амплитудный спектр для в — фазовый спектр для

где — коэффициенты трения, характеризующие потери энергии в диэлектрике. Решая уравнение (77.7) и суммируя по всем осцилляторам, найдем вектор поляризации

Ограничимся далее случаем среды малой плотности (газ), когда действующее поле приближенно равно среднему. Тогда

где — «плазменная» частота осцилляторов сорта I. В плазме и

Коэффициент трения К связан со статической проводимостью плазмы:

Соотношения (77.10), (77.11) справедливы и для металлов, которые можно рассматривать в определенных пределах как своеобразную плазму (ср. § 21).

Задача 2. Найти спектр поля, которое представляет собой периодическую (период Т) последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой и длительностью (рис. XI.1, а).

«Основная» частота поля равна Спектр поля содержит частоты сот Используя (77.3), найдем:

Фазовый спектр зависит от выбора начала отсчета. Для данного сигнала получим

Фурье-разложение поля имеет вид

Это разложение содержит так называемую постоянную составляющую поскольку функция положительна.

Фурье-разложение может иметь как форму (77.1), так и форму (77.4). В последнем случае в разложении присутствуют только косинусы в силу симметрии поля Пример спектра показан на рис. XI.1 для частного случая . Если же, например, то из всего спектра остается одна постоянная составляющая . В пределе спектр становится «сплошным» (см. § 78), так как расстояние между соседними линиями . В другом предельном случае спектр становится однородным: , т. е. фурье-амплитуды не зависят от частоты

Операция фурье-разложения допускает простую и далек» идущую геометрическую аналогию с разложением вектора по координатным осям. Действительно, в выражении (77.1) любую комплексную периодическую функцию можно рассматривать как «вектор». Совокупность всех таких «векторов» называется гильбертовым пространством. Определим скалярное произведение двух векторов гильбертова пространства как

где I — период, одинаковый для всех функций.

Рассмотрим теперь любые гармонические функции:

где — целые (условие периодичности). Из определения вытекает, что «векторы» «ортогональны» если и «нормированы» на единицу, так как их «модули» Значит, набор таких гармонических функций со всевозможными образует ортонормированный базис гильбертова пространства. Но тогда должна иметь место общая формула разложения вектора по базисным ортам с «проекциями» вектора на «оси координат»:

которая в точности совпадает с (77.3), в то время как само фурье-разложение (77.1) совпадает с (77.15). Отметим, что все сказанное выше не есть вывод фурье-разложения, но всего лишь наглядная аналогия. Основной вопрос теории рядов Фурье — является ли множество гармонических функций полным базисом в гильбертовом пространстве, т. е. всякую ли периодическую функцию можно

разложить в ряд Фурье. Ответ на него дает математический анализ.

Используя векторную аналогию, можно легко получить новое соотношение для фурье-амплитуд. Рассмотрим квадрат «вектора» По общим формулам векторной алгебры имеем

В случае, когда — напряженность поля, это соотношение имеет простой физический смысл: энергия волны равна сумме энергий ее гармонических составляющих. Иначе говоря, различные гармоники волны не интерферируют между собой (см. § 92).

Равенство (77.16) будем называть балансом энергии поля. В математической теории фурье-разложения оно называется равенством Парсеваля.