§ 76. РЕЗОНАТОРЫ

Если в один из узлов стоячей волны (75.1) поместить второе зеркало, параллельное первому, поле между зеркалами не изменится. Это простейший пример резонатора — так называемый резонатор Фабри — Перо. При заданном расстоянии между зеркалами стоячая волна, векторы Е, Н которой параллельны зеркалам, образуется при условии

где Второе соотношение дает так называемый спектр резонатора, или набор его собственных частот. В дальнейшем мы уввдим, что любое поле в резонаторе можно представить как суперпозицию полей с собственными частотами, которые называются собственными колебаниями поля в резонаторе, или его модами. В этом отношении резонатор похож на колебательную систему с бесконечным числом степеней свободы.

Характерной особенностью мод является стационарность их амплитудной модуляций. Это означает, что амплитуды собственных колебаний зависят только от координат, но не от времени. В

рассматриваемом простейшем примере резонатора

Название «резонатор» связано с тем, что реакция этого устройства на внешнее поле резко зависит от частоты: легче всего «раскачать» резонатор на одной из его собственных частот. Делается это с помощью вводимого в резонатор штыря, на который подается переменное напряжение, или с помощью петли с переменным током (так называемая петля связи).

Можно возбудить резонатор и другим, не менее важным, способом — при помощи пучка электронов с переменным током

Пусть такой пучок малого диаметра проходит сквозь резонатор параллельно электрическому полю плоскополяризованной волны (рис. Х.10). Для ограничения области взаимодействия волны с пучком мы ввели вторую пару плоскостей, перпендикулярных вектору Е и потому не влияющих на волны этой поляризации. Очевидно, что возбуждение резонатора модулированным пучком будет наиболее эффективно в случае резонанса, т. е. когда частота модуляции совпадает с частотой одной из мод:

а разность фаз модуляции пучка и колебаний поля соответствует торможению пучка см. (75.3)). Если в начальный момент колебания в резонаторе отсутствовали, то они автоматически возбуждаются в нужной фазе.

Средняя мощность, передаваемая резонатору пучком,

где — координата оси пучка,

энергия поля в резонаторе при условии, что возбуждается только одна мода колебаний с амплитудой . В (76.6) мы использовали выражение (75.3) с Подставляя (76.6) в (76.5), найдем

Таким образом, амплитуда колебаний поля в резонаторе растет пропорционально времени. Чем же определяется ее максимум? Один из факторов — торможение электронов, которое ограничивает амплитуду поля величиной

где — кинетическая энергия электронов на входе в резонатор.

Рис. Х.10. Возбуждение простейшего резонатора электронным пучком. 1 — «зеркала»; 2 — крышки резонатора; стрелками показано поле Е.

Рис. Х.11. Резонатор накопителя электронов и позитронов ВЭПП-4 ИЯФ СО АН СССР. Рабочая частота 182 МГц (). 1 — петля обратной связи с генератором; 2 — ввод мощности; см, см. см, см. Напряжение на ускоряющем зазоре до 2 млн. вольт.

Другой фактор — расстройка частоты Это приводит к уходу фазы, так что через время

электроны начинают ускоряться, и раскачка резонатора прекращается. Максимальную амплитуду колебаний поля можно оценить, подставляя (76.9) в (76.7):

Отметим, что при расстройка частоты не влияет на резонанс, т. е. амплитуда колебаний нарастает согласно (76.7), резонатор как бы не «чувствует» этой расстройки. Можпо сказать поэтому, что частота колебаний пучка является в смысле взаимодействия его с резонатором неопределенной, причем эта неопределенность тем больше, чем меньше время существования пучка:

Это один из примеров так называемого соотношения неопределенности между частотой и длительностью колебаний. Более подробно этот вопрос будет рассмотрен в § 79.

Наконец, необходимо учесть потери энергии в стенках резонатора за счет их конечной проводимости. Максимальная амплитуда колебаний поля определяется из равенства мощности потерь и мощности «накачки» (76.5).

Потери в резонаторе, как и в контуре (см. § 52), характеризуются его добротностью которая определяет скорость затухания собственных колебаний резонатора:

Щелевой резонатор, рассмотренный выше (см. рис. X.10), напоминает одновитковый контур с емкостью между стенками 2. Эта аналогия становится еще более близкой для реальных резонаторов, используемых в накопителях электронов и позитронов Института ядерной физики в Новосибирске (рис. Х.11). Точный расчет полей в таком резонаторе представляет собой весьма сложную математическую задачу, однако основную (наинизшую) частоту такого резонатора можно приближенно найти, рассматривая его как контур (см. задачу ниже).

Задача. Оценить частоту основной моды колебаний для резонатора, изображенного на рис. Х.11.

В этом резонаторе электрическое и магнитное поля можно считать приближенно разделенными в пространстве. Рассматривая резонатор как последовательно включенные емкость индуктивность найдем . Численные значения даны для следующих реальных размеров резонаторов ВЭЛП-4: см. Точные значения равны: МГц; см.

Рассмотрим теперь резонатор более простой геометрии, поддающийся точному расчету. Пусть, например, он представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами (рис. Х.12). В общем случае волновой вектор имеет все три составляющие вдоль сторон резонатора: Тогда граничные условия дают три соотношения:

где — целые числа. Отсюда частота моды

Так как Наинизшая (основная) частота такого резонатора, очевидно, соответствует наименьшим возможным значениям чисел Одно из этих чисел можно положить равным нулю, например Это значит, что поля не зависят от координаты вдоль стороны что возможно, если вектор Е направлен вдоль этой стороны, а вектор Н ему перпендикулярен. Остальные два числа как это вытекает из граничных условий: Таким образом, частота основной моды

Реальные резонаторы имеют обычно сложную геометрию, например резонатор магнетрона (рис. Х.13). Однако при любой геометрии всегда имеется дискретный спектр собственных частот, зависящих от трех целых чисел, — по числу пространственных координат.

Основное применение резонаторов — генерация и усиление электромагнитных колебаний в радиодиапазоне. В приборах такого типа энергия электронного пучка передается полю резонатора.

Рис. Х.12. Структура электромагнитного поля в прямоугольном (а) и цилиндрическом (б) резонаторах (основная мода колебаний). Силовые линии: Е — сплошные, Н — пунктир.

Рис. Х.13. Многокамерный магнетрон (в разрезе).

Другое его важное применение — ускорение заряженных частиц высокочастотным электрическим полем. Ускоритель представляет собой, по существу, обращенный генератор. При конструировании резонаторов для этих приборов встречаются две основные трудности: достижение минимальных потерь и максимальной напряженности электрического поля. Например, резонатор ВЭПП-4 (см. рис. Х.11) имеет добротность . В специальных случаях используются сверхпроводящие резонаторы, добротность которых достигает Несмотря на полное отсутствие электрического сопротивления резонаторы имеют конечную добротность из-за излучения электромагнитного поля через неизбежные технические отверстия, например для ввода энергии в резонатор, а также из-за потерь на несверхпроводящих примесях. Получение высоких напряженностей электрического поля также представляет собой сложную техническую проблему. Максимальные поля в вакуумных резонаторах превышают Это приблизительно на порядок больше, чем статические поля в лучших изоляторах. Такая разница связана с высокой частотой колебаний электрического поля, что затрудняет развитие разряда.