§ 15. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ

Для вычисления поля в среде рассмотрим основное уравнение электростатики (см. § 7)

где — плотность свободных зарядов, а — плотность связанных зарядов (в атомах или молекулах среды). Прежде всего усредним (15.1) по микроскопическим (молекулярным) неоднородностям: Среднее поле будем называть просто электрическим полем (в среде), и в дальнейшем знаки усреднения опустим. Для того чтобы использовать это уравнение, необходимо найти величину которая должна быть как-то связана с поляризацией диэлектрика. Качественно это легко себе представить на примере поляризации диэлектрика в плоском конденсаторе (рис. II.2). Поскольку молекулы диэлектрика остаются при поляризации нейтральными, средняя плотность связанных зарядов внутри диэлектрика Однако на границе диэлектрика возникает некоторый поверхностный заряд который легко сопоставить вектору поляризации где V — объем диэлектрика, площадь поверхности (см. рис. II.2). Поле зарядов ослабляет внешнее поле, причем оказывается, что в большинстве случаев коэффициент ослабления определяется только свойствами

среды и не зависит от поля; он называется диэлектрической проницаемостью. В рассмотренном примере поле внутри диэлектрика где — плотность свободных зарядов (на пластине конденсатора)

В общем случае влияние диэлектрика не сводится только к ослаблению электрического поля. Например, если диэлектрик имеет поверхность, не соприкасающуюся с проводником, то наведенные на ней заряды искажают конфигурацию поля.

Как же найти поле в общем случае?

Для этого определим вначале зависимость Запишем потенциал, создаваемый поляризованным диэлектриком, в виде (см. § 5)

Здесь , и градиент берется по координатам точки наблюдения Переходя к дифференцированию по и используя соотношение получим

Первый интеграл преобразуется в поверхностный и обращается в нуль для любого диэлектрика конечных размеров, а второй представляет собой потенциал зарядов с плотностью

Остается обсудить справедливость использованного выше дипольного приближения. Как вытекает из оценок представленных в § 5, полем высших мультиполей можно пренебречь на расстояниях, много больших размеров молекул. Это условие в дацном случае выполняется с большим запасом, поскольку мы интересуемся лишь средним макроскопическим полем.

Задача 1. Вычислить дипольный момент системы зарядов с плотностью (15.4).

По определению дипольного момента . Преобразуем подынтегральное выражение где — орты. Интеграл от первого члена преобразуется в поверхностный и исчезает, тогда имеем

Подставим теперь выражение для в уравнение поля (15.1) и введем новый вектор

который называется вектором электрической индукции. Получим

Напомним, что здесь — плотность свободных зарядов, распределение которых считается обычно заданным. Поэтому мы можем в принципе решить уравнение (15.6) и найти вспомогательное поле Чтобы получить Е, необходимо знать зависимость или которая определяется конкретным устройством молекул диэлектрика (см. § 14). Для большинства веществ при не слишком больших полях эту зависимость с хорошей степенью точности можно считать линейной (см. (14.3)):

где х — коэффициент поляризации диэлектрика. Подставляя эта выражение в (15.5), получим

где — уже знакомая нам диэлектрическая проницаемость. Действительно, в однородном диэлектрике уравнение (15.6) можно переписать в виде . Отсюда следует, что действие такого диэлектрика сводится к уменьшению плотности заряда (а значит, и поля) в раз. При этом индукцию можно рассматривать так же, как часть полного поля Е.

В общем случае есть некоторое вспомогательное поле, а диэлектрик изменяет не только величину, но и конфигурацию электрического поля. Одним из важных свойств индукции является сохранение ее потока без учета связанных зарядов среды. Это вытекает непосредственно из уравнения (15.6) (ср. § 6):

где — свободный заряд внутри поверхности Отсюда, в частности, следует связь индукции с плотностью заряда на проводнике, аналогичная (10.2):

где — нормальная к поверхности проводника составляющая вектора . В общем случае индукция может иметь и тангенциальную составляющую вдоль поверхности проводника, однако последняя не дает вклада в о, как легко проверить, используя (15.9).

С другой стороны, потенциал электрического поля в среде по-прежнему связан с вектором Е. Это получается непосредственно из усреднения уравнения Поэтому, в частности, вектор Е остается перпендикулярным поверхности проводника. Из соотношения (15.8) следует параллельность векторов Однако данное соотношение не всегда справедливо. В общем случае линейная связь векторов может быть описана тензором диэлектрической проницаемости

Это имеет место, например, в анизотропных кристаллах, или замагниченной плазме (см. задачу 1, § 84), свойства которых зависят от направления. При этом векторы непараллельны.

Для вспомогательного поля принцип суперпозиции выполняется по определению вектора т. е. суммарное поле есть сумма полей от отдельных свободных зарядов. Для истинного поля Е принцип суперпозиции в таком виде (т. е. с учетом только свободных зарядов) справедлив лишь в случае линейной зависимости Последняя имеет место только в слабых полях (см. (14.3)), и только приближенно. Это, однако, не означает нарушения фундаментального принципа суперпозиции (см. § 3), с учетом всех зарядов — как свободных, так и связанных. Точно так же рассеяние света на свете (фотона на фотоне), которое хотя и не наблюдалось в прямых экспериментах, но не вызывает сомнения, означает не нарушение принципа суперпозиции, а объясняется поляризацией вакуума — присутствием виртуальных электрон-позитронных пар.

В гауссовой системе индукция измеряется, естественно, в тех же единицах, что и электрическое поле. В СИ единица индукции определяется из закона сохранения потока: а поток индукции измеряется в кулонах: 1 Кл где с — скорость света. В дальнейшем мы увидим, что появление с в формулах перехода не случайно и связано с теорией относительности.

Отметим, что в векторы и Е отличаются не только по величине, но и по размерности. Это значит, что диэлектрическая проницаемость — размерная величина, в частности, в вакууме

С физической точки зрения такая ситуация является противоестественной, поскольку поле составляет, по существу, часть полного поля Е, а в вакууме оба поля просто совпадают. Поэтому СИ неадекватна физике электромагнитных явлений, и мы будем пользоваться гауссовой системой. Последняя, однако, неудобна в практических расчетах (в частности, ее единицы заряда, тока и т. д. слишком малы), здесь наиболее удобно пользоваться СИ.

В СИ закон Кулона записывается в такой форме:

откуда следует, что диэлектрическая проницаемость вакуума (точнее, величина играет роль, аналогичную гравитационной постоянной в законе тяготения Ньютона. Причина ее появления та же самая — выбор единицы массы независим от закона взаимодействия. Опять было бы более естественно положить гравитационную постоянную равной единице и определить тем самым новую единицу массы, аналогичную гауссовой единице заряда; она оказывается равной 15 тыс. кг.

Задача 2. Найти электрическое поле и емкость плоского конденсатора, заполненного диэлектриком с переменным пластины конденсатора расположены при

Уравнение (15.6) принимает вид откуда Постоянная А находится по напряжению на конденсаторе. Окончательно получаем