§ 34. МАГНИТНЫЙ ДИПОЛЬ

Найдем приближенно магнитное поле ограниченной системы токов на расстояниях, значительно превышающих размер системы Для этого исследуем мультипольное разложение вектор-потенциала, аналогичное разложению скалярного потенциала электростатического поля в § 5. Малым параметром разложения является здесь, так же как и в § 5, отношение Поместим начало координат где-нибудь внутри системы и запишем (см. рис. 1.2):

Здесь поле вычисляется в точке с радиус-вектором а координаты элемента тока характеризуются вектором .

Нулевой член разложения аналогичный полю заряда в электростатике,

В общем случае он не равен нулю. Например, для точечного заряда (см. 31.5). Однако для стационарного распределения токов всегда

Для доказательства разобьем систему токов на отдельные замкнутые (в силу ограниченности системы) трубки тока с постоянным током вдоль каждой из них. Для достаточно тонкой трубки тока можно написать где I — координата вдоль трубки, — площадь ее поперечного сечения; вектор направлен вдоль трубки . В результате имеем

где суммирование производится по всем трубкам тока

Такой же результат получается и для среднего по времени поля:

поскольку средняя плотность тока не зависит от времени. Следующий член мультипольного разложения

Преобразуем подынтегральное выражение, обозначив для краткости Как мы видели, суммирование по трубкам тока

приводит к замене

после чего подынтегральное выражение (34.5) можно выразить через двойное векторное произведение:

Последнее слагаемое здесь снова преобразуется в подынтегральное выражение, если выделить из него полный дифференциал:

При интегрировании по замкнутой трубке тока полный дифференциал дает нуль, так что его можно опустить. В результате получаем

Целью всей этой несколько громоздкой операции было «вытащить» вектор из-под интеграла. Окончательно можно написать (ср. (5.2))

где величина называемая магнитным моментом системы, равна

Вектор-потенциал (34.7) аналогичен дипольному потенциалу электрического поля, а магнитный момент — дипольному моменту . Это становится особенно ясно, если вычислить соответствующее ему магнитное поле Последнее слагаемое равно нулю — потенциал точечного заряда). При вычислении первого слагаемого учтем, что . Получим

Это в точности соответствует полю электрического диполя (5.5).

Простейшим примером магнитного диполя является виток с током. Используя последнее выражение в (34.8), найдем

где I — ток в витке, а вектор равен по абсолютной величине площади витка и направлен по нормали к его плоскости.

Из сравнения поля такого витка с электрическим полем диполя видно, что они совпадают только на больших расстояниях. Вблизи системы конфигурации электрического и магнитного полей качественно различны: при движении вдоль вектора дипольного момента магнитное поле не изменяет своего направления, в то время как

электрическое направлено внутри диполя в противоположную сторону.

Зависит ли магнитный момент от выбора начала отсчета? При смещении последнего на вектор а магнитный момент изменяется на величину

Но последний интеграл, как мы видели, обращается в нуль для стационарных токов или в среднем по времени. В электростатике это соответствует условию равенства нулю полного заряда системы.

Задача. Найти магнитный момент заряженной частицы, движущейся по круговой траектории в однородном магнитном поле.

По формуле (34.8) получаем :

Здесь — масса частицы; М — механический момент, — часть кинетической энергии, соответствующая компоненте скорости перпендикулярной вектору Н (так называемая «поперечная» энергия). Мы использовали здесь выражение для ларморовского радиуса частицы

Выражение (34.11) показывает, что магнитный момент заряженной частицы пропорционален ее механическому моменту. Это естественно, поскольку магнитный момент частицы, так же как и механический, связан с ее вращением. Коэффициент пропорциональности называется гиромагнитным отношением

Для сложной системы зарядов гиромагнитное отношение зависит от структуры системы. Мы вернемся к этому вопросу в § 36.

Каждый следующий член мультипольного разложения (34.1) (квадрупольный октупольный — польный отличается от предыдущего малым множителем Если — характерный заряд системы, скорость его колебаний, то общая оценка членов мультипольного разложения (34.1) может быть записана в виде

Она отличается от оценки для электрического потенциала (5.4) множителем Такое же соотношение будет иметь место и для полей, поскольку оба поля Е, Н получаются дифференцированием потенциалов по