§ 68. ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ

Простейшим типом волн являются так называемые плоские волны, в которых все величины зависят только от одной координаты, например Именно такая волна была рассмотрена в § 65. Сейчас мы исследуем ее свойства на основе волнового уравнения. Название «плоская волна» связано с тем, что волновые поверхности в этом случае являются плоскостями

Волновое уравнение для плоской волны без источников принимает вид

а калибровочное условие дает для плоской волны и постоянную можно положить равной нулю, так как не дает вклада в поле.

Плоская волна, по определению, распространяется вдоль нормали к волновой поверхности (вдоль оси так как смещение волны в поперечных направлениях просто не изменяет поля. Линии, ортогональные к волновым поверхностям, называются лучами. Для плоской волны лучи образуют семейство параллельных прямых. Условие означает, что волна является поперечной, т. е. как вектор-потенциал, так и поля Е, Н перпендикулярны направлению распространения волны. Таким образом, плоская волна описывается двумерным вектором.

Как же найти решение волнового уравнения (68.1)? По-видимому, читатель уже свыкся с мыслью, что решение нужно просто угадать. Чтобы сделать это, вернемся к § 65, где мы видели, что поле плоской волны перемещается в пространстве как целое. Следовательно, решение уравнения (68.1) можно попытаться искать в форме

Функция описывает так называемый профиль волны (в момент который перемещается со скоростью Чтобы найти эту скорость, подставим выражение (68.2) в уравнение (68.1). Возьмем одну из компонент А и учтем, что где — аргумент функции . Получаем

т. е. мы пришли к тому же результату, что и в § 65. Но здесь содержится и нечто большее. Во-первых, скорость волны может иметь оба знака, т. е. волна может распространяться в обе стороны. Последний результат, впрочем, заранее очевиден, так как оба направления в пространстве равноправны (пространство изотропно). Во-вторых, видно, что само по себе волновое уравнение не накладывает никаких ограничений на вид функции , т. е. на форму поля. Таким образом, полное решение волнового уравнения (68.1) имеет вид

где — произвольные функции.

Появление в решении произвольных функций является характерной особенностью уравнений в частных производных. Посмотрим, как обстоит дело в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, например уравнения движения частицы в механике. Решение последнего уравнения содержит две произвольные постоянные, которые в каждом конкретном случае определяются начальными условиями, т. е. положением и скоростью частицы в некоторый момент времени. Точно так же произвольные функции в решении волнового уравнения (68.4) должны быть связаны с начальным состоянием электромагнитного поля. Прежде чем найти эту связь, введем описание поля плоской волны с помощью комплексных величин. Любую комплексную величину

можно рассматривать как двумерный вектор. Посмотрим теперь, как действует оператор на комплексное поле. Поскольку все величины зависят только от одной координаты получим

В комплексной форме это можно записать как

Таким образом, действие оператора на комплексное поле сводится к взятию производной и умножению на

Вернемся теперь к полному решению (68.4) и найдем электрическое и магнитное поля плоской волны:

Отсюда по заданной начальной конфигурации поля находим неизвестные функции

где . В правой части (68.9) мы заменили на соответственно, так как при Сами функции находятся интегрированием правых частей (68.9), при этом появляется еще одна произвольная постоянная, которая связана с неоднозначностью выбора вектор-потенциала: .

В общем случае начальное электромагнитное поле распадается на две волны. В специальных случаях

возникает только одна волна. Это условие как раз соответствует соотношению (65.2) между полями в плоской волне.

Скорость волны (68.3), которую можно записать в виде

где — показатель преломления среды, называется обычно фазовой скоростью. Название связано с тем, что это есть скорость движения определенной фазы волны, например максимума поля или его нуля (подробнее см. § 84).