§ 51. ВЗАИМОИНДУКЦИЯ

В сложной электрической цепи изменение тока в одном из проводников возбуждает ЭДС индукции не только в этом проводнике (самоиндукция), но и во всех других проводниках (взаимоиндукция). Магнитный поток через площадь, охватываемую

проводником (точнее, потокоецепление, см. § 46),

где величины называются коэффициентами взаимной индукции проводников, — есть уже известные нам коэффициенты самоиндукции. Конечно, такая простая линейная связь между токами и потоками справедлива далеко не всегда. В частности, при наличии ферромагнитных сердечников соотношение (51.1) можно использовать лишь приближенно.

Найдем прежде всего магнитную энергию сложной цепи. Для этого вычислим ЭДС индукции в каждом из проводников, считая все коэффициенты взаимной индуктивности постоянными:

Полная мощность, потребляемая в цепи

Для интегрирования этого выражения рассмотрим пару симметричных слагаемых Каждая такая сумма должна свертываться в полную производную, так как энергия магнитного поля не зависит от способа его получения, в частности от последовательности включения токов. Это возможно только в том случае, если коэффициенты удовлетворяют соотношению симметрии:

Тогда и интегрирование (51.3) дает

Появление множителя (1/2) связано с тем, что суммирование в (51.5) производится по всем значениям , так что каждая пара учитывается дважды. Что же касается диагональных членов, то они также дают при интегрировании множитель (1/2).

Задача 1. Выразить коэффициент взаимоиндукции двух катушек, намотанных на общем сердечнике, через их коэффициенты самоиндукции, пренебрегая полями рассеяния.

Если — поток в сердечнике, то потокосцепления в первой и второй катушках соответственно:

Полагая получим в случае аналогично Откуда

Выражение для энергии (51.5) удобно использовать для нахождения сил, действующих на проводники в магнитном поле. Поскольку энергия магнитного поля не зависит от способа его получения и, в частности, от изменения мы можем пользоваться выражением (51.5), учтя в балансе энергий работу внешних сил, изменяющих Пусть нас интересует сила действующая на один из проводников вдоль некоторой координаты (необязательно декартовой). Рассмотрим виртуальное перемещение проводника на и запишем баланс энергии, считая токи постоянными:

Здесь — изменение энергии магнитного поля при постоянных токах, работа источников тока. Изменение энергии поля связано с зависимостью коэффициентов от координаты Из (51.5) имеем Работу источников тока найдем из выражения: . В результате получим из (51.7)

Нам пришлось учитывать работу источников тока, так как выражение для энергии (51.5) задано через токи. Если бы оно было задано через магнитные потоки, то баланс энергии упростился бы:

откуда для силы получаем формулу

Сравним оба выражения для силы в простейшем случае одной индуктивности. Тогда

Задача 2. Найти натяжение круглого витка с током.

В качестве координаты выбираем длину витка Индуктивность витка равна где — малый радиус витка. Сила натяжения равна

Задача 3. Используя соотношения (51.1), (51.2), получить формулу индуктивности длинного соленоида (46.4).

Принимая, что весь магнитный поток сосредоточен в сердечнике, и записывая выражение для потока через виток от магнитного поля тока витка получим значение коэффициента взаимоиндукции этих витков: самоиндукции соленоида, по которому протекает переменный ток,

откуда для следует формула (46.4). Таким образом, для нахождения индуктивности многовитковой системы необходимо сложить коэффициенты взаимоиндукции каждого витка с каждым. Введенное в § 46 потокосцепление есть простой способ учета этого обстоятельства.