§ 80. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ. СТОХАСТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Перейдем теперь к изучению более реального случая стационарной волны с непрерывным спектром. Типичным примером такого поля является солнечный свет, который характеризуется широким: непрерывным спектром. Другим крайним случаем можно считать автоколебательную систему (генератор). В первом приближении такая система генерирует гармонические колебания, т. е. ее спектр сводится к одной линии. Однако в силу тех или иных возмущений эта линия всегда имеет конечную ширину, так что спектр будет! непрерывным, хотя и очень узким. Например, лучшие лазеры имеют ширину линии

Прежде всего оказывается, что обычное фурье-разложение для импульсного поля (см. § 78) здесь неприменимо из-за расходимости фурье-интегралов. Действительно, рассмотрим стационарное поле на конечном интервале Т. Тогда можем написать

где интеграл берется на интервале Т. Запишем баланс энергии волны:

Мы предполагаем, что интеграл по спектру сходится (см. ниже). Последнее выражение дает предел интеграла при где средняя мощность волны постоянна в силу принятой стационарности поля (например, мощность солнечного излучения). Таким образом, в пределе обычная фурье-компонента расходится по закону Уже эта зависимость наводит на мысль, что рассматриваемое поле является в некотором смысле случайным, так как энергия его взаимодействия с осциллятором, пропорциональная фурье-амплитуде растет как что характерно для случайного процесса. Расмотрим этот вопрос подробнее. Введем величину

называемую корреляцией (или автокорреляцией) поля, которая характеризует регулярность волны. Произведем фурье-разложение полей в (80.3). Для того чтобы избавиться от расходимости при перенормируем фурье-амплитуду: т. е. будем записывать фурье-преобразование в виде

Определенное таким образом остается теперь конечным при Физический смысл перенормировки фурье-амплитуды состоит в том, что новая теперь непосредственно связана с мощностью поля. Действительно, из (80.2) получим

Величина называется спектральной плотностью мощности или, короче, спектром мощности. Подставляя Фурье-разложение (80.4) в (80.3), меняя порядок интегрирования и используя представление

(78.12) для -функции, найдем

откуда сразу следует, что фурье-компонента корреляционной функции и спектр мощности связаны равенством

Обычно спектр мощности имеет конечную ширину Да. Тогда по соотношению неопределенности функция корреляции имеет конечную длительность

Это значит, что поле сохраняет свою регулярность лишь в течение времени ~т. Иначе говоря, рассматриваемое поле можно разбить на ряд интервалов длительностью таких, что в пределах каждого из них поле имеет более или менее регулярную структуру, тогда как поля в соседних интервалах статистически независимы. В этом и состоит «случайность» рассматриваемого поля. Впрочем, лучше говорить о его нерегулярности, которая не обязательно связана с чисто случайными процессами. Примером может служить модуляция радиоволны звуковым или видеосигналом, который (вообще говоря) не является случайным, хотя обычно и бывает нерегулярным.

Другой принятый термин — стохастическое поле. Говорят также, что поле является когерентным на интервале Термин «когерентный» является, по существу, синонимом слова «регулярный», но он понимается обычно в смысле возможности интерференции волны (см. § 92). Величину называют при этом временем когерентности (или временем корреляции). Точное определение дается ниже (см. (80.10)).

Аналогичным образом можно рассмотреть стохастическое поле в пространстве . В этом случае вводится понятие длины когерентности, или, точнее, размеров области когерентности поля:

где — ширина спектра по координате.

Простейшим примером стохастического поля служит все тот же солнечный свет (как и вообще любое тепловое излучение). Он состоит из отдельных импульсов, нерегулярно излучаемых различными электронами (см. задачу 2).

Чтобы нагляднее представить свойства стохастического поля, посмотрим, как оно действует, например, на свободный электрон. Пусть стохастическое поле задано своим средним значением и корреляцией На конечном промежутке времени Т

Рис. XI.4. Области интегрирования. Цифрами обозначены точки, переходящие друг в друга при преобразовании переменных интегрирования.

можем написать . Усредняя по времени, найдем

Это, однако, не означает, что электрон остается в покое. Просто его скорость нерегулярно изменяет знак. Для оценки абсолютной величины скорости (и энергии) электрона найдем значение квадрата скорости: . Область интегрирования и разделим на две части (рис. XI.4). При интегрировании по области I произведем замену переменных

а при интегрировании по области II замену

Области интегрирования в новых переменных совпадают, а интеграл по одной из них равен интегралу по другой от комплексносопряженной подынтегральной функции:

Тогда при

При вторым слагаемым в последнем выражении можно пренебречь по сравнению с первым, так как их отношение

Определим теперь время когерентности поля посредством

Второе равенство следует из (80.5), (80.6). В рассматриваемом примере получаем окончательно

Таким образом энергия электронов растет пропорционально времени (типично случайный процесс), причем это ускорение определяется постоянной составляющей поля. Полученный результат не противоречит тем не менее принятому условию в противном случае энергия электрона возрастала бы пропорционально квадрату времени Рассмотренное нерегулярное ускорение частицы в стационарном поле с непрерывным спектром называют также стохастическим ускорением.

Оценку стохастического ускорения можно получить и из следующих простых соображений. Мы видели выше, что стохастическое поле складывается из независимых между собой «кусков» регулярного поля длительностью . В каждом таком куске скорость электрона изменяется пропорционально времени: а различные складываются квадратично (аналогично, например, независимым ошибкам). В результате получим формулу (80.11).

Задача 1. Оценить амплитуду колебаний свободного электрона в стохастическом поле.

По порядку величины . Чтобы получить точный ответ, запишем откуда . Для вычисления корреляции скорости представим , где — изменение скорости на интервале х, статистически независимое от при Отсюда

Вернемся к спектру стохастического поля Чем отличается он от спектра регулярного импульсного поля? Очевидно, что отличие связано с фазовым спектром который оказывается для стохастического поля всюду разрывным. Это вытекает непосредственно из соотношения неопределенности. Действительно, если полная длительность поля Т то в спектре должен быть характерный масштаб что и означает, в пределе, разрывы функции Последние должны быть всюду плотными, так как, если вырезать любой конечный участок

спектра, он все равно даст стационарную стохастическую волну, а значит, на нем должен быть по крайней мере один разрыв.

Математические операции с такими «экзотическими» функциями требуют известной осторожности (классическая теория фурье-преобразования в этом случае просто неприменима). Эту трудность можно обойти, если учесть, что для любого конечного интервала времени Т разрывы отсутствуют. Таким образом, вопрос сводится к существованию пределов при . Оказывается, что например, предел фурье-компоненты действительно отсутствует, так как ее фаза нерегулярно изменяется при Поэтому стохастическое поле можно описать только с помощью либо спектра мощности, либо корреляционной функции. Спектральная теория стохастических (случайных) функций возникла в 30-е годы главным образом в работах советских математиков Колмогорова и Хинчина и американского математика Винера.

Предельным случаем стохастического поля является так называемый белый шум, который соответствует полному отсутствию корреляций в волне, т. е. Соответственно ширина спектра такого поля неограничена.

Примером рассмотренного непрерывного спектра может служить автоколебательная система с конечной шириной линии. Появление для нее непрерывного спектра объясняется действием различных возмущений. Будет ли спектр в таком случае всегда чисто непрерывным или может сохраниться и дискретная компонента? Разберем этот вопрос на следующем простом примере. Пусть колебания генератора описываются выражением

Здесь — номинальная частота генератора, а — случайные возмущения фазы, уширяющие линию до величины где — ширина спектра (см. § 79). Очевидно, что если в спектре (80.12) и присутствует дискретная линия, то ее частота будет равна Фурье-амплитуду этой линии определим посредством

(Эта калибровка отличается от принятой нами в § 77, так как в данном случае процесс непериодичекий и Пусть флуктуирующая фаза остается все время малой: Тогда, разлагая экспоненту в (80.12) и подставляя в (80.13), получим Этот результат означает, что бесконечно тонкая линия действительно сохраняется, несмотря на возмущение фазы, но амплитуда ее несколько уменьшается. Такой спектр называется смешанным. В реальных условиях ширина линии будет все-таки конечной, но не счет возмущения фазы, а вследствие всегда конечного времени генерации, Т: Баланс энергии в этом случае можно записать в виде суммы по дискретной и

непрерывной частям спектра, которые не интерферируют между собой:

С помощью этого соотношения можно найти долю энергии в непрерывном спектре для рассмотренного выше примера:

Пусть теперь фаза флуктуирует произвольно. Введем функцию распределения по фазе, определив ее как долю времени, в течение которого фаза находится в заданном интервале: Возьмем в качестве примера гауссово распределение: Получим

а доля энергии в линии Отметим, что рассмотренное сохранение линии при случайном возмущении фазы составляет существо знаменитого эффекта Мессбауэра.

В случае смешанного спектра корреляции поля не затухают полностью, так как дискретная линия дает периодические корреляции. Например, для (80.12) получаем

Существование остаточных корреляций для смешанного спектра непосредственно вытекает из соотношения неопределенности (80.8), поскольку ширина линии Такое поле не является полностью стохастическим.

Задача 2. Сигнал представляет собой последовательность одинаковых импульсов со случайными интервалами между ними. При каких условиях такой сигнал будет стохастическим (с непрерывным спектром)?

Представим себе распределение импульсов во времени как сдвиг каждого из них на некоторое относительно периодической последовательности. Иначе говоря, момент начала имшульса запишем в виде где Т — среднии интервал между импульсами. Если бы мы получили бы дискретный спектр, общий вид которого определяется формой отдельного импульса, а расстояние между линиями равно (см. задачу 2, § 79). Смещение импульса на вызывает появление в его спектре фазового множителя так что спектр сигнала будет модулироваться суммой Это в точности соответствует задаче о возмущении фазы, рассмотренной выше. В частности, если распределение по гауссово: то Условие стохастичности сигнала

Рис. XI.5. Схема измерения функции распределения по частотам обращения пучка заряженных частиц. 1 — вакуумная камера: 2 — пучок; 3 — измерительный электрод; 4 — анализатор.

должно выполняться для минимальной частоты. Если импульс достаточно гладкий, то и условие стохастичности принимает вид , т. е. импульсы должны быть полностью перемешаны. Если же мы имеем дело с модулированными высокочастотными импульсами (основная гармоника то для стохастичности достаточно лишь небольшого временного разброса импульсов (То

Задача 3. Внутри проводящей камеры (рис. XI.5) вращается пучок релятивистских заряженных частиц, удерживаемый магнитным полем. Частицы имеют разброс по энергии и соответственно частоте обращения (см. (56.7)). При пролете через измерительный электрод 3 каждая частица наводит на нем некоторое напряжение относительно стенок камеры , где С — емкость между электродом и камерой). Анализатор выделяет среднеквадратичное значение суммарного сигнала на частоте в полосе частот Найти если функция распределения частиц по частотам обращения имеет ширину миого меньшую средней частоты и полоса .

Сигнал от частицы представляет собой периодическую последовательность прямоугольных импульсов с амплитудой и длительностью период поэтому его можно представить в виде ряда Фурье:

На частоте будет зарегистрирован сигнал, суммарный по всем частицам, имеющим частоту обращения . С учетом малости найдем

— полное число частиц в пучке. Подставляя сюда заачение суммируя и усредняя по времени, получим

В приближении это сотношение позволяет просто восстановить функцию распределения по известной зависимости

Этот метод применяется в экспериментах с пучками заряженных частиц.

Задача 4. Найти спектр мощности напряжения на проводнике с током, если время свободного пробега электрона в проводнике подчиняется закону распределения Пуассона средняя частота столкновений электронов с неоднородностями структуры проводника, § 21).

Искомый спектр мощности найдем, вычислив вначале функции корреляции для напряжения и тока где — сопротивление проводника

— полное число электронов проводимости, — длина проводника, — мгновенное значение скорости электрона. Тогда

где — функция корреляции скорости электрона. Здесь учтено, что в сумме по останутся только члены с а функция имеет одинаковый вид для любых электронов. Вычисляя ее, найдем

где — скорость электрона на отрезке свободного пробега (интервал ); — полное число свободных пробегов электрона длительностью за время Т. Поскольку производные можно заменить средним значением квадрата скорости электрона и учесть, что

- среднее значение по всем большим — среднее число соударений электрона за время Т. Кроме того,

В результате получим

Учитывая, что — плотность электронов проводимости, — сечение проводника, , Т — температура проводника, и используя выражение для проводимости о (21.4), преобразуем выражение для к виду

Соответствующий спектр мощности получим, подставив это выражение в (80.7):

Для области частот эта формула переходит в известную формулу Найквиста (1928 г.) (или, для линейной частоты

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: — средний квадрат шумового напряжения, снимаемого с сопротивления (имеющего температуру ) через фильтр с полосой пропускания .