§ 12. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ

Начнем с простейшего случая одного уединенного проводника, т. е. проводника, удаленного от других проводников (и зарядов) на расстояние, много большее его максимального размера. Емкость такого проводника равна отношению заряда к потенциалу создаваемому этим зарядом:

В гауссовой системе емкость имеет размерность длины и измеряется в сантиметрах. В СИ единицей емкости является фарад, см.

Емкость сферы, например, равна ее радиусу. Считая земной шар проводником, получим для его емкости: см

Задача 1. Оценить емкость металлической пластины с размерами а .

На расстояниях в области можно положить ; наконец, при Сшивая эти выражения при , найдем Отсюда Для цилиндра радиуса аналогичным образом можно получить

Рассмотрим теперь систему из нескольких проводников с произвольными зарядами. Потенциал каждого из проводников зависит от всех зарядов, причем в силу принципа суперпозиции зависимость эта должна быть линейной:

где — некие коэффициенты, зависящие от геометрии системы. Разрешая уравнения (12.2) относительно найдем

Новые постоянные называются емкостными коэффициентами или коэффициентами электростатической индукции. Матрицы взаимно обратны: Для уединенного проводника

Для примера рассмотрим две концентрические сферы (см. задачу 2, § 11):

Здесь величина характеризует взаимную емкость двух проводников, — емкость наружной сферы. В общем случае аналогичная добавка появляется и у коэффициента Тогда

Заряд каждого из проводников можно разбить на две части: связанный и свободный заряд

Система из двух проводников называется конденсатором, а его емкость определяется по связанному заряду:

Емкости проводников (обкладок) конденсатора «на бесконечность» называются обычно «паразитными» емкостями.

Вычислим энергию системы заряженных проводников. При малом изменении зарядов приращение энергии Так как энергия системы определяется только конечным значением зарядов и не зависит от способа зарядки, последнее выражение должно свернуться в полный дифференциал. Для этого в свою очередь, необходимо, чтобы матрица была симметричной: Тогда и

В частности, для изолированного проводника Для конденсатора где причем это выражение характеризует только энергию поля «внутри» конденсатора.

Вследствие емкостной связи один заряженный проводник «наводит» потенциал (или заряд) на другой. В некоторых случаях, например при точных электрических измерениях, необходима защита от таких «наводок». Другой пример — защита людей от электрического поля проводников, находящихся при высоком потенциале. Для этой цели применяется электростатическое экранирование.

Рис. 1.10. Электростатическое экранирование. а — экран не заземлен; б - экран заземлен.

Идеальным оно будет в том случае, если защищаемые проводники (например, всю измерительную аппаратуру вместе с источниками питания) окружить дополнительным замкнутым проводником, внутри которого электростатическое поле всегда равно нулю. Для этой цели в лабораториях сооружаются иногда целые экранированные комнаты.

Часто удобнее экранировать сам источник наводки. Но если просто окружить его замкнутым проводником, находящимся под «плавающим» потенциалом, то экранирования не получится. Действительно, заряд экрана можно считать раным нулю, а тогда, согласно закону сохранения потока (см. § 6), среднее поле наводки остается тем же самым, изменится лишь его конфигурация (рис. 1.10). В частности, для сферического экрана поле вне его будет всегда сферически-симметричным. Правда, если полный заряд экранируемой системы равен нулю (полностью изолированная система), то экранирование все же возможно, так как среднее поле наводки равно нулю. Плавающий потенциал экрана при этом также будет равен нулю, а значит, не будет и внешнего поля. Это совсем очевидно в случае сферического экрана. Но даже тогда осуществить таким способом экранирование практически невозможно, так как всегда существующие небольшие внешние токи будут быстро заряжать экран до значительных потенциалов. Поэтому экран необходимо «заземлить», т. е. соединить его с Землей, которую можно рассматривать как единый гигантский проводник. Действие заземления связано с тем, что при любых «земных» электрических процессах происходит лишь перераспределение электрических зарядов. Поэтому полный заряд всей системы (включая Землю) можно считать равным нулю или, по крайней мере, постоянным, а все токи — внутренними. Локальные измерения электрического поля вблизи Земли до высот порядка 200 км дают значения Е от 100 до единиц вольт на метр. Основным фактором, нарушающим экранирование в рассматриваемом случае, является нестационарность наводки.

Если, как это обычно происходит на практике, экран не удается сделать полностью замкнутым, то всегда остается некоторая наводка, уменьшение которой зависит от изобретательности экспериментатора.