§ 23. РЕЛАКСАЦИЯ ЗАРЯДОВ В СРЕДЕ

Пусть в начальный момент в проводящей среде имеется некоторое распределение свободного заряда Как будет оно изменяться с течением времени? Для однородной среды задача может быть решена в общем случае. Напишем уравнение непрерывности: и исключим из него с помощью закона Ома и уравнения поля . В результате получим уравнение

Для решения этого уравнения используем, как и в § 11, метод разделения переменных, т. е. будем искать решение в виде

При подстановке полученного выражения в уравнение сокращается (тривиальный случай разделения переменных), и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение: решение которого: Постоянную интегрирования включаем в функцию определяемую начальными условиями: Окончательно имеем

Такой процесс называется релаксацией зарядов в среде. Распределение заряда не изменяется в процессе релаксации. Куда же уходит заряд? Очевидно, на бесконечность или, точнее, на границу среды. В этом можно убедиться и непосредственно, вычислив полный ток в среде в процессе релаксации. Вдали от зарядов (см. не зависит от расстояния, т. е. заряд передается на бесконечность. Как подробно разобрано в § 20, это вовсе не значит, что электроны, образующие первоначальный заряд, уходят на бесконечность. В действительности происходит лишь небольшое смещение всех зарядов среды, эквивалентное передаче заряда на бесконечность.

Саморазряд конденсатора, рассмотренный в конце предыдущего параграфа, можно считать частным случаем релаксации зарядов в среде. Теперь становится понятным, почему он не зависит от геометрии конденсатора. Решение (23.3) показывает, что саморазряд происходит по экспоненциальному закону, а величина равна времени, за которое напряжение на конденсаторе убывает в раз. Для лучших изоляторов (янтарь, плавленый кварц) это время достигает Для обычного стекла , а для химического стекла всего .

Для металлов время релаксации очень мало. Например, для меди формула (23.1) дает с. При таких малых однако, полученное решение теряет смысл, так как уже нельзя пренебрегать массой электронов. Поэтому рассмотрим обратный случай, в котором мы будем пренебрегать трением, т. е. считать

проводимость бесконечной. Уравнение движения электрона имеет теперь вид Умножая обе части равенства на получим вместо закона Ома уравнение

Продифференцируем уравнение непрерывности по времени:

Частная производная (производная в данной точке) связана с полной производной (производной для данной группы частиц) соотношением

Но мы знаем (см. § 20), что в металлах скорость электронов ничтожно мала, поэтому вторым членом можно пренебречь. Подставляя (23.4) в (23.5) и используя выражение получим уравнение

Это уравнение решается точно таким же методом, как и (23.1). Для функции получается уравнение колебаний:

Окончательное решение имеет вид

Таким образом, в этом предельном случае возникают гармонические колебания плотности заряда. Частота колебаний называется плазменной частотой, так как такой процесс характерен для разреженной плазмы, в которой можно пренебречь столкновениями между частицами, а значит, и сопротивлением.

Наконец, в общем случае уравнение движения электрона можно записать в форме

где — эффективная частота столкновений (см. § 21). Переходя к плотности тока, получим

Отсюда, в частности, следует выражение для проводимости:

Возьмем теперь уравнение непрерывности, умножим его на и сложим с уравнением (23.5). Используя, далее, соотношения придем к уравнению

Для временной зависимости получается уравнение колебаний с затуханием:

Решение этого уравнения имеет вид

Окончательно получим

Время релаксации зарядов

Для меди Эта величина значительно больше первоначальной оценки по формуле (23.1), но все еще очень мала.

Задача. Найти коэффициент ослабления переменного электрического поля в металле.

Внешнее поле Ее индуцирует на поверхности металла заряды с плотностью При изменении зарядов возникает ток а значит, и электрическое поле . В частности, если поле изменяется по гармоническому закону с частотой со, коэффициент ослабления поля