§ 79. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В предыдущем параграфе мы уже обратили внимание на характерную особенность фурье-спектра, ширина которого во всех трех примерах оказалась обратно пропорциональной размеру поля. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

В первом примере длительность прямоугольного импульса является вполне определенной и равной т. Ширина же спектра, по существу, неоднозначна. В рассматриваемом случае можно, например, считать ширину спектра (между нулями функции Тогда соотношение между длительностью поля и шириной его спектра примет вид Во втором примере оба параметра неоднозначны, примем (см. (78.4))

откуда . Наконец, для гауссовой конфигурации поля естественно положить так что Мы видим, что в каждом конкретном случае произведение «размеров» поля и его спектра есть константа порядка единицы, точное значение которой зависит от формы поля и способа определения ширины. Оказывается, что этот закон имеет универсальный характер, который можно пояснить следующим образом. Физический смысл фурье-спектра состоит в том, что он характеризует взаимодействие волны с различными осцилляторами (резонанс). В предельном случае бесконечно узкого спектра (линии) резонанс имеет место только с одним осциллятором. При этом говорят о (идеально) монохроматической волне, амплитуда и частота которой постоянны неограниченно долго. В общем случае поле можно записать в виде где — переменная амплитуда, включающая также и комплексную фазу, а значит, и переменную частоту. Фурье-компонента такого поля

и характеризует энергию, переданную осциллятору с частотой так как можно считать, что пропорционально силе, — скорости осциллятора. Если характерное время изменения амплитуды есть (например, длительность поля), то при расстройке резонансная фаза не успеет «уйти» за указанное время, резонанс не нарушится и, значит, взаимодействие волны со всеми осцилляторами в этом интервале частот будет примерно одинаковым. Взаимодействие начнет падать, когда фаза уйдет примерно на , т. е. когда Поэтому для ширины спектра можно принять

Это и есть знаменитое соотношение неопределенности для длительности и частоты. Неопределенность последней означает, что волне конечной длительности нельзя приписать какое-то одно значение частоты, так как она взаимодействует примерно одинаково с целым набором различных осцилляторов. Иначе говоря, неопределенность частоты нужно понимать не в смысле неполного описа-. (как, например, неопределенность тепловой скорости молекулы), а в смысле одновременного присутствия всех частот в интервале . Поэтому такую волну называют часто волновым пакетом или группой волн (см. § 84). Аналогично, для размера и волнового числа: .

Соотношение неопределенности можно применить и к самому осциллятору. Дело в том, что даже для идеальной монохроматической волны время взаимодействия с осциллятором является конечным либо вследствие его затухания , либо вследствие его включения на конечное время, либо, наконец, из-за изменения частоты, если измерение спектра производится не с

помощью нескольких независимых осцилляторов, а посредством одного, но с перестраиваемой частотой. В любом случае неопределенность частоты осциллятора выражается тем же соотношением (79.2) с . Это может приводить, в частности, к тому, что осциллятор с достаточно большим будет «воспринимать» дискретный спектр как непрерывный.

Особенностью соотношения неопределенности является то обстоятельство, что оно справедливо в общем случае лишь по порядку величины. Однако несмотря на это, оно оказывается очень полезным при анализе самых различных волновых процессов, в чем мы будем в дальнейшем неоднократно убеждаться. В принципе вместо равенства по порядку величины (79.2) можно написать точное неравенство:

— среднеквадратичные ширины распределений. Однако применение такого неравенства менее удобно, так как оно может оказаться очень сильным (см. ниже, задача

Задача 1. Оценить полосу частот, необходимую для передачи телевизионного изображения (625 строк, 25 кадров в секунду).

Принимая, что число элементов изображения строке примерно равно числу строк в кадре, получим для длительности одного элемента изображения , откуда МГц. Такую полосу можно было бы в принципе разместить и в диапазоне коротких волн для дальних телепередач. Однако тогда пришлось бы закрыть более ста радиостанций ради одного телевизионного канала. Поэтому с самого начала телевидение было вытеснено в УКВ диапазон, а дальние телепередачи стали возможными лишь иедавно с использованием различных ретрансляторов, включая спутники связи.

С первого взгляда кажется, что для цветного телевидения необходима тройная полоса частот в соответствии с тремя составляющими цветопередачи (см. § 62). Однако современная система цветного телевидения использует тот же канал, что и для черно-белого телевидения (около 6 МГц). Это оказывается возможным по двум причинам. Во-первых, цветовое разрешение глаза примерно в четыре раза меньше яркостного, так что для передачи цветового сигнала - отводится всего 1,6 МГц. Во-вторых, вышеприведенная оценка дает в действительности верхнюю границу необходимой полосы частот, соответствующую такому крайнему случаю, когда все элементы изображения и все кадры резко различаются. Естественно, что в большинстве случаев это не так. Поэтому реальный спектр телевизионного сигнала имеет «квазидискретную» структуру, периоды которой соответствуют частоте строчной развертки и «адровой частоте (25 Гц) (см. задачу 2). В образовавшихся таким образом щелях и размещается цветовой сигнал. Это означает, конечно, что ширина спектра черно-белого телевидения могла бы быть существенно сужена.

Задача 2. Проанализировать спектр поля в виде группы из одинаковых прямоугольных импульсов длительностью отстоящих друг от друта на расстоянии Т (см. рис. XI.3).

Спектр одиночного импульса дается выражением (78.3) с фазовым множителем где — номер импульса. Спектр сигнала равен сумме спектров импульсов, так что получается спектр (78.3) умноженный на сумму

Амплитудный спектр

Вид этого спектра для изображен на рис. XI.3. Он характеризуется тремя параметрами. Полная ширина спектра До определяется одиночным импульсом. Положение линий определяется периодичностью импульсов Т или нулями знаменателя (79.5): при этом Наконец, ширина линий зависит от полной длины сигнала: . В частности, при получается дискретный спектр (ср. задачу 2, § 77).

В зависимости от характеристик осциллятора, с которым взаимодействует такое поле, его сложный спектр «воспринимается» совершенно по-разному. Очень «плохой» осциллятор с временем затухания тэат Т реагирует на отдельный импульс, и для него этот спектр — непрерывный с шириной До Осциллятор получше регистрирует дискретный спектр, «не замечая» конечной ширины линий. Наконец, высокодобротный осциллятор (тзат регистрирует полную структуру спектра, изображенную на рис. XI.3.

Из этого примера видно, что в общем случае спектр характеризуется несколькими масштабами До, отражающими через соотношение неопределенности сложную структуру поля (разные ). В частности, дискретный спектр можно характеризовать некоторой полной шириной, которая в данном примере .

В качестве более «хитрого» примера применения соотношения неопределенности рассмотрим частотно-модулированную волну

где - фаза волны, изменяющаяся непропорционально времени, и поэтому такая волна называется также и фазово-модулированной. Обычно под частотой такой волны понимают мгновенную скорость изменения фазы

которая является вполне определенной функцией времени. Где же здесь неопределенность частоты? Можно было бы предположить, что эта неопределенность задается полным интервалом изменения частоты Однако это также противоречит соотношению неопределенности, так как при заданной которая здесь определяет масштаб неопределенность частоты неограниченно убывает при . С другой стороны, если считать, в соответствии с соотношением неопределенности, что , то как же тогда быть с полной шириной спектра, которая при может быть значительно больше?

Прежде всего ясно, что имеются, по крайней мере, две разные физические величины, называемые одним и тем же словом — частота. Первую из них (79.7) можно было бы назвать кинематической частотой, она характеризует форму колебаний и никак не связана с соотношением неопределенности. В последнее входит частота, которую можно было бы назвать динамической, так как она определяет взаимодействие волны с системой осцилляторов.

Рассмотрим отдельно два случая: (слабая модуляция) (сильная модуляция). Наиболее интересен второй случай, когда интервал изменения кинематической частоты много больше неопределенности динамической частоты . В этом случае можно говорить о приближенной зависимости динамической частоты от времени с точностью, даваемой соотношением неопределенности

В случае слабой модуляции выражение (79.6) можно разложить по и частотная модуляция сведется к амплитудной

Неопределенность частоты можно считать здесь а понятие переменной частоты теряет смысл, поскольку амплитуда ее изменения много меньше ее неопределенности.

С частотной модуляцией связано поучительное заблуждение Флеминга, который был в свое время научным консультантом фирмы Маркони. Он считал, что в случае ширина спектра будет по-прежнему определяться диапазоном изменения кинематической частоты т. е. может быть сделана произвольно малой, что, по мнению Флеминга, могло бы решить проблему «тесноты» в эфире. Это вызвало в свое время многолетнюю дискуссию; результатом которой было, во-первых, выяснение ошибочности такого представления, а во-вторых, внедрение в радиосвязь частотной модуляции. Выяснилось, что она обладает высокой помехоустойчивостью при что связано с передачей сигнала в широкой полосе частот (примерно в 10 раз больше, чем для АМ-радиосвязи).

С первого взгляда проблема кажется тривиальной, хотя бы из выражения (79.8). В действительности, однако, дискуссия велась, в основном, вокруг вопроса о физической реальности фурье-представления поля. Любопытно отметить, что знаменитый Герц отрицательно относился к спектральным представлениям.