§ 32. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

При вычислении магнитного поля иногда удобно пользоваться не интегральным соотношением для вектор-потенциала (31.8), а дифференциальными уравнениями для А или Н.

Одно такое уравнение может быть написано сразу:

Оно выражает факт отсутствия в природе магнитных зарядов. Поскольку, однако, в это уравнение не входят источники магнитного поля — токи, его недостаточно для вычисления Н. В этом состоит отличие магнитного поля от электрического, где соответствующее уравнение позволяет вычислить поле по заданному распределению зарядов.

Второе основное уравнение получим вначале для вектор-потенциала. Связь между потенциалами (31.7) наводит на мысль, что уравнение для А должно быть похоже на уравнение для Вычислим поэтому с помощью выражения (31.8):

Здесь мы воспользовались следующим соотношением: (см. § 8). Полученное уравнение для вектор-потенциала называется основным уравнением магнитного поля:

Найдем теперь уравнение для напряженности магнитного поля. Для этого вычислим его ротор:

Найдем сначала (V, Для этого снова воспользуемся выражением (31.8):

Мы заменили здесь на , т. e. дифференцирование по на дифференцирование по чтобы выделить полную дивергенцию, интеграл от которой по объему преобразуется в поверхностный и стремится к нулю на достаточно далекой поверхности (ср. § 9). Оставшийся интеграл преобразуем, используя уравнение непрерывности: . В результате получаем

Обратим внимание на то, что это уравнение для потенциалов вытекает фактически из закона сохранения заряда — уравнения непрерывности и очень похоже на него по форме:

Подставляя его в (32.4), с помощью уравнения (32.2), а также соотношения запишем уравнение для магнитного поля в виде

Это уравнение также называется основным уравнением магнитного поля.

Неожиданно мы достигли большего, чем искали. Мы хотели найти связь между магнитным полем и током, а получили связь между магнитным и электрическим полями. Оказалось, что источником магнитного поля является не только электрический ток, но и изменение электрического поля. Последний эффект был предсказан Максвеллом (1864 г.), правда, из совсем других соображений. К тому же связь магнитного поля с током настолько укоренилась в сознании физиков, что Максвелл назвал этот дополнительный члев «током смещения»:

Напомним, что полученные уравнения справедливы только в квазистационарном приближении. Интересно отметить, однако, что уравнения (32.8), так же как и (32.7), оказываются точными (см. § 45). Это связано с компенсацией двух приближений: дополнительного слагаемого в уравнении для вектор-потенциала (32.3) и дополнительного члена в уравнении для электрического поля (см. § 45). Обе поправки порядка т. е. выходят за рамки квазистационарного приближения.