§ 33. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЦИРКУЛЯЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Поскольку силовые линии магнитного поля замкнуты, важной характеристикой поля является так называемая циркуляция

где интеграл берется по некоторому замкнутому контуру Г. Циркуляция магнитного поля формально аналогична электродвижущей силе для электрического поля.

Воспользуемся теперь теоремой Стокса

где — любая поверхность, ограниченная контуром Г. Подставляя сюда выражение для из уравнения (32,8), найдем

причем полный ток через поверхность

включает в себя как обычный ток с плотностью так и «ток смещения» (32.9).

Название «закон сохранения» для (33.3) несколько условно и не является общепринятым; оно подчеркивает независимость циркуляции от выбора контура Г при условии, что он охватывает один и тот же полный ток.

Выражение (33.3) дает среднее поле по замкнутому контуру:

В случае симметрии системы это позволяет полностью вычислить поле (см. задачи 1, 2 ниже).

Циркуляция магнитного поля измеряется в гаусс-сантиметрах (система Гаусса) или в ампер-витках см.

Задача 1. Найти поле прямого тока.

Выбирая в качестве замкнутого контура окружность, центр которой лежит на оси проводника (силовая линия), получим из Это полностью совпадает с (28.5), но вычисления здесь значительно проще.

Задача 2. Найти поле тороидального соленоида.

В качестве контура выоерем окружность, лежащую внутри тора, с центром на оси симметрии и радиусом Полный ток через площадь контура равен где I — ток в обмотке, число ее витков. Предполагая аксиальную симметрию поля, получим где — длина силовой линии. Для аксиальной симметрии поля необходимо выполнение двух условий. Во-первых, намотка тора должна быть равномерной; во-вторых, шаг намотки должен быть много меньше малого радиуса тора (см. следующую задачу).

Первое из выражений применимо приближенно также к прямому соленоиду длины . В этом случае поле быстро спадает на концах соленоида (на расстоянии , так что циркуляция определяется с точностью внутренней областью соленоида.

Задача 3. Найти поле вдали от плоской периодической решетки параллельных проводников (рис. IV.2),

Рис. IV.2. Периодическая одномерная решетка.

На расстояниях, значительно превышающих период решетки, поле можно считать однородным (см. ниже). Тогда с помощью (33.5) находим Это выражение определяет постоянную составляющую поля. Для нахождения переменной составляющей воспользуемся уравнением Лапласа (32.3) (вне токов). Так как все токи имеют одно и то же направление, у вектора А есть только одна компонента которая в силу симметрии не зависит от Это уравнение решаем методом разделения переменных Зависимость определим из условия периодичности поля, которому удовлетворяет набор функций

где — любое целое число, а — некоторые фазы.

Подставляя полученное выражение в уравнение Лапласа, найдем откуда

Мы оставили здесь только решение, затухающее на бесконечности. Видно, что наиболее медленно убывающее решение, определяющее поле на больших расстояниях, соответствует Член с дает постоянный потенциал, так что отвечающее ему поле равно нулю. Полное решение задачи, включающее определение коэффициентов требует применения фурье-анализа (см. § 77). Таким образом, переменная часть магнитного поля убывает экспоненциально на характерном расстоянии

Понятие циркуляции полезно не только для магнитного поля, но и для его вектор-потенциала. Действительно, векторы А и Н удовлетворяют аналогичным уравнениям:

Поэтому теорема Стокса дает

Последняя величина называется магнитным потоком (через поверхность

Аналогия (33.6) полезна также для наглядного представления картины линий поля А. Например, в случае аксиально-симметричного магнитного поля сразу ясно, что вектор А имеет только одну составляющую

Теорему Стокса (33.2) можно использовать также для нового определения потенциальности электрического поля, а именно:

Действительно, в этом случае работа электрического по любому замкнутому контуру

Для магнитного поля условие не выполняется во всем пространстве. Однако в отдельных областях это условие может выполняться, и тогда допустимо описание магнитного поля с помощью скалярного потенциала (31.1).