§ 46. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. ИНДУКТИВНОСТЬ

Закон Фарадея позволяет вычислить энергию магнитного поля. Действительно, при увеличении магнитного поля возникает ЭДС индукции, отбирающая энергию электрического тока, возбуждающего магнитное поле. Эта энергия и переходит в энергию магнитного поля.

Рассмотрим произвольный электрический контур с током. Очевидно, что магнитный поток через этот контур пропорционален току:

Здесь с — скорость света (гауссова система единиц), некоторый коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии контура; он называется коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.

Рассмотрим процесс возбуждения магнитного поля в контуре без потерь и с неизменной геометрией (L = const). ЭДС индукции в таком контуре полная энергия, переданная в контур от генератора тока,

Это и есть энергия магнитного поля контура. Бросается в глаза сходство выражений (46.1), (46.2) с соответствующими механическими формулами, причем ток играет роль скорости, поток — импульса, а индуктивность — массы. Это сходство отнюдь не случайно, поскольку, например, ток действительно пропорционален скорости движения заряженных частиц. Более подробно эта аналогия будет рассмотрена в § 49.

В гауссовой системе поток измеряется в максвеллах а в СИ — в веберах Размерность индуктивности в гауссовой системе можно найти из (46.1). Так как то имеет размерность длины и измеряется в сантиметрах. В СИ индуктивность измеряется в генри причем: см.

Задача. Найти индуктивность коаксиального кабеля (рис. VI.4).

Магнитное поле в кабеле описывается выражением Магнитный поток внутри кабеля пропорционален его длине, поэтому вычислим поток и индуктивность на единицу длины

откуда

Рассмотрим длинный соленоид, поле которого (см. задачу где — длина соленоида, а — число его витков. Магнитный поток через соленоид равен Однако ЭДС индукции в соленоиде в данном случае не равна а в раз больше. Это объясняется тем, что поток пересекает все витков соленоида, наводя в каждом из них так что полная Величина называется потоке сцеплением, и именно им определяется индуктивность многовиткового контура по формуле (46.1). Таким образом, для соленоида

Энергия магнитного поля в соленоиде (46.2)

Так как магнитное поле в длинном соленоиде однородно, равно объему соленоида, величину

можно интерпретировать как плотность магнитной энергии. В вакууме это есть действительно плотность энергии магнитного поля, в среде же в входит также и энергия тепловых процессов. В результате оказывается, что при постоянной температуре величина равна свободной энергии среды в магнитном поле (ср. § 17).

В случае нелинейной зависимости например в ферромагнетике, изменение энергии магнитного поля можно записать в виде Но связано с изменением полного поля в среде с вспомогательным полем Н. Поэтому изменение плотности магнитной энергии можно записать в виде

Это выражение позволяет вычислить, в частности, потери энергии на перемагничивание ферромагнетика. Для этого нужно проинтегрировать (46.7) по петле гистерезиса. Очевидно, что полная потеря энергии при обходе петли пропорциональна ее площади.

Рис. VI.4. Коаксиальный кабель.

Рис. VI.5. Давление магнитного поля.