§ 40. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Влияние однородной среды сводится просто к изменению внешних токов (см. § 38). Простейшим случаем неоднородной среды является кусочно-однородная среда с резкими бесконечно тонкими границами между отдельными областями, в каждой из которых При вычислении поля в такой среде необходимо знать граничные условия, т. е. связь между компонентами полей на границе соседних областей. Поскольку граничные условия являются локальными, т. е. связывают поля в «точке» (резкая граница), границу всегда можно считать плоской.

Граничное условие для нормальной компоненты поля В находится аналогично тому, как это делалось для вектора в электростатике (см. § 16). Из уравнения с помощью теоремы Гаусса получаем

Отметим, однако, что физический смысл этого условия не совпадает с аналогичным ему формально условием: так как В описывает полное магнитное поле, является вспомогательным вектором («часть» электрического поля).

Второе граничное условие для тангенциальной компоненты вектора Н, вообще говоря, нельзя получить из условия непрерывности потенциала, как это было сделано в электростатике. Действительно, основное уравнение магнитного поля (32.8) показывает, что в общем случае поле Н непотенциально, так как Правда, в частном случае, когда плотность внешних токов и тока смещения на границе равна нулю, можно ввести скалярный потенциал поля Н:

При этом из условия непрерывности потенциала (конечное значение поля) получим, как и в электростатике,

Оказывается, что это условие сохраняется и для конечной плотности тока. Рассмотрим замкнутый контур, охватывающий

границу, большие стороны которого равны единице, а меньшие стремятся к нулю (рис. V.2, а). Применим к этому контуру закон сохранения циркуляции Н (см. § 33). Если плотность тока на границе конечна, то полный ток через контур стремится к нулю вместе с его площадью, а циркуляция равна: откуда и следует условие (40.3). Это условие нарушается, если по поверхности раздела течет ток с конечной (ненулевой) линейной плотностью Этот вектор лежит в плоскости границы и характеризует ток через единицу длины поверхности (рис. V.2, б). В этом случае необходимо рассмотреть отдельно две компоненты вектора перпендикулярную и параллельную вектору и Только одна из них (параллельная) сохраняется в то время как другая терпит разрыв: Это условие легко получается из закона сохранения циркуляции Н (33.3). В векторной форме оба условия можно записать в виде

где — единичный вектор нормали к граничной поверхности, направленный в первую среду. Отметим, что граничные условия (40.1), (40.3) при формально совпадают с граничными условиями в электростатике (см. § 16).

Задача 1. Найти магнитное поле в тонкой плоской щели, если поле в среде можно считать однородным.

Пусть вектор В в среде составляет угол с нормалью к щели (рис. V.3). Граничные условия (40.1), (40.3), дают:

или

В частности, если поле перпендикулярно плоскости щели , то а если оно параллельно щели то . Этот результат показывает, как можно измерять векторы В и Н в среде.

Задача 2. Найти магнитное поле в сферической полости радиуса а.

Будем решать более общую задачу, считая, что внутри полости находится среда с магнитной проницаемостью а снаружи — с проницаемостью Поскольку внешние токи отсутствуют, т. е. поле Н потенциально. Поэтому задача становится полностью аналогичной электростатической, а так как граничные условия также аналогичные (см. выше), то и решения обеих

Рис. V.2. Граничные условия для вектора Н. а — вид в плоскости, ортогональной границе; б — плоскость границы с поверхностным током.

Рис. V.3. К задаче 1.

задач формально совпадают (16.5):

где — однородное поле вдали от полости.

Решим теперь эту же задачу с помощью векторного потенциала Покажем прежде всего, что внутри каждой среды молекулярные токи отсутствуют. Действительно, так как каждая из сред считается однородной. Тогда общее уравнение (39.6) сводится к . В аксиально-симметричном поле достаточно взять лишь одну компоненту вектора А (33.8). В сферической системе координат (полярная ось направлена вдоль уравнение принимает вид

Дополнительное слагаемое в правой части возникает вследствие того, что оператор Лапласа действует на вектор. Уравнение (40.6) решаем методом разделения переменных: Угловую зависимость находим из условия, что при поле асимптотически стремится к однородному: Отсюда Подставляя в (40.6), получим уравнение для радиальной части:

Аналогично электростатической задаче (см. § И) ищем решение в виде После подстановки в уравнение получаем к откуда общее решение для потенциала

Две неизвестные постоянные, имеющие смысл поля внутри полости и эффективного магнитного момента найдем из граничных условий:

Первое равенство выражает непрерывность вектор-потенциала или, что то же самое, условие Второе вытекает из условия Решая уравнения (40.9) относительно получим, конечно, тот же самый результат (40.5). При сравнении нужно только иметь в виду, что так как величина определена по полному полю В во второй среде (40.9), по полю Н. В частном случае (полость)

Полученный в последней задаче результат можно применить для расчета экранирования от постоянного магнитного поля. Экранируемая область окружается, по возможности, со всех сторон каким-либо ферромагнетиком Молекулярные токи усиливают магнитное поле в толще ферромагнетика и ослабляют его снаружи, в том числе и во внутренней полости.

В качестве простейшего примера рассмотрим очень толстый сферический экран рис. V.4). При этом условии можно вначале пренебречь влиянием внутренней полости. Используя решение задачи 2, найдем поле внутри экрана

Рис. V.4. Магнитное экранирование.

Далее, можно снова использовать то же самое решение для полости радиуса в однородном поле Получаем

При достигается весьма большой коэффициент экранирования: Более выгодными, однако, оказываются многослойные экраны. Точный расчет их является очень громоздким. Вместо этого обычно применяется приближенный метод магнитных цепей.