§ 66. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ПОЛЕЙ
Произвольное электромагнитное поле описывается полной системой уравнений Максвелла. При этом пара уравнений (65.1) описывает изменение поля во времени (без токов). Их нужно решать для заданного начального состояния поля 
Если мы хотим ограничиться свободным полем, то начальное поле должно удовлетворять дополнительным условиям:
Эти условия есть не что иное, как вторая пара уравнений Максвелла в частном случае отсутствия зарядов.
Один из методов решения системы (65.1) состоит в исключении какого-либо из полей, в результате чего получается так называемое волновое уравнение. Для этого возьмем 
от обеих частей, например первого из уравнений (65.1), преобразуем оператор 
с учетом (66.1) и используем второе уравнение (65.1). Ограничиваясь по-прежнему случаем однородной и изотропной среды 
получим
Такое же уравнение можно получить и для В. Это и есть волновое уравнение.
Задолго до теории Максвелла волновое уравнение, методы его решения и общие свойства волновых процессов были подробно изучены в механике и акустике. По-видимому, впервые это было сделано французским математиком д’Аламбером (1747 г.) и русским математиком Эйлером (1748 г.) для упругих колебаний струны. Отсюда и возникла аналогия с механическими волнами, упомянутая в конце предыдущего параграфа. Эта аналогия значительно облегчила и ускорила изучение различных процессов распространения электромагнитных волн, но задержала понимание их природы.
Волновое уравнение (66.2), определяющее эволюцию свободного электромагнитного поля, совсем не похоже на уравнение движения в механике. Но в одном отношении они совпадают — и там и здесь уравнения содержат только вторую производную по времени. Отсюда вытекает важное свойство движения как частиц, так 
волн — так называемая обратимость (во времени). Это значит, что если формально изменить знак времени 
то уравнения не
изменятся и, значит, при одинаковых начальных условиях движение будет одинаковым в обоих случаях. Отсюда следует, что воображаемое движение назад во времени (при 
) действительно возможно, если в качестве начальных условий взять конечные условия прямого движения, изменив в механике знак скоростей частиц, а в случае электромагнитного поля — знак В.
