§ 22. ТОК В ИЗОЛЯТОРАХ. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ТОКА

Между изоляторами и проводниками не существует резкой грани. Любой изолятор имеет конечную, хотя обычно и очень малую, проводимость. Хорошей иллюстрацией служит вода. С одной стороны, вода — проводник. По этой причине, например, категорически запрещается тушить водой горящую электропроводку: по струе воды пожарник немедленно оказывается под высоким напряжением, кроме того, вода вызывает дополнительные короткие замыкания, усиливая пожар. С другой стороны, вода используется в качестве изолятора в специальных конденсаторах.

Механизм проводимости в изоляторах значительно сложнее, чем в металлах. В твердом изоляторе он связан с наличием

небольшого количества свободных электронов или «дырок» (полупроводники), возникающих вследствие «ионизации» атомов решетки под действием теплового движения. В жидких же изоляторах (в том числе и в воде) проводимость связана с движением ионов как положительных, так и отрицательных.

Зависимость между напряжением и током в изоляторе является, вообще говоря, нелинейной, т. е. закон Ома становится несправедливым. Можно, однако, и в этом случае сохранить понятие проводимости (и сопротивления) (21.1), которая теперь уже зависит от поля. Аналогичная ситуация имеет место и в других случаях: например, в плазме, полупроводниках, электронных лампах и др. Электрические свойства таких проводящих элементов задаются их характеристикой Например, для электронного диода при достаточно большой эмиссии катода характеристика имеет вид где А — некоторая постоянная (см. (27.4)).

Электрический ток в диэлектрике изменяет граничные условия для полей. Действительно, нормальная компонента плотности постоянного тока должна оставаться непрерывной на границе двух сред:

Это приводит к новому граничному условию для вектора Е:

Выполнение данного условия требует присутствия на границе свободного заряда, что дает, в свою очередь, скачок вектора индукции:

Интересно отметить, что это выражение зависит только от отношения проводимостей, но не от их абсолютной величины. Отсюда, казалось бы, можно сделать вывод, что обычное граничное условие никогда не выполняется. В действительности, однако, поверхностный заряд на границе двух сред, необходимый для выполнения условия (22.3), натекает лишь через некоторое конечное время, обратно пропорциональное проводимости среды (см. § 23). Поэтому для переменного поля достаточно высокой частоты сохраняется обычное условие, а условие (22.2) справедливо для низких частот, и в частности для постоянного поля.

Граничные условия для продольных компонент поля не изменяются в присутствии тока.

Задача 1. Найти стационарное поле в плоском конденсаторе, диэлектрик которого состоит из двух слоев толщины с диэлектрическими постоянными и проводимостями

Поскольку конденсатор имеет утечку, стационарное поле возможно только при условии, если он постоянно подключен к источнику с ЭДС . Тогда отношение полей в слоях определится из условия равенства токов утечки: Кроме того, Отсюда

На границе между слоями образуется заряд

Здесь — площадь конденсатора, его емкость.

Представим себе два электрода, погруженные в бесконечный неоднородный диэлектрик. Оказывается, что сопротивление между электродами можно связать с емкостью между ними. Действительно, полный ток в цепи можно записать в виде

где — поверхность, охватывающая один из электродов, полный заряд на нем. Подставляя приходим к соотношению

Отметим, что величина имеет размерность времени и характеризует в этом примере процесс разрядки конденсатора за счет внутренних утечек. Действительно, время разрядки (подробнее см. § 25). Интересно, что время разрядки не зависит согласно (22.5) от геометрии конденсатора:

Задача 2. Оценить сопротивление заземления, которое выполнено в форме пластины с размерами а

Используя результат, полученный в задаче в § 12, и соотношение (22.5), найдем

Типичная проводимость грунта а Если принять размеры заземления то Ом. Для сравнения укажем, что сопротивление заземления через водопроводную сеть Ом. В этом случае большая длина сети не уменьшает существенно сопротивление, поскольку начинает играть роль сопротивление самих железных труб. Сопротивление заземления в виде свободно лежащего на земле провода длиной колеблется от 1 до 103 Ом в зависимости от состояния грунта, главным образом от его влажности.

Задача 3. Оценить напряженность электрического поля вокруг заземления, описанного в задаче 2.

Ограничимся областью , тогда (см. задачу в § 12), откуда Если на заземление «попало высокое напряжение», то вокруг него создается опасная зона, так как даже на расстоянии в один шаг на поверхности земли приходится величина где А — длина шага. Например, при падении на землю провода линии электропередачи на радиус опасной зоны гоп где принято см, и опасно шаговое напряжение .