§ 25. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ С ЕМКОСТЬЮ

Рассмотрим цепи, содержащие электрические емкости. Такие цепи, например, изображены на рис. III.3. В этом случае, так же как и в предыдущем параграфе, можно использовать уравнения Кирхгофа. Единственное отличие состоит в том, что связь между напряжением на емкости и током через нее задается теперь дифференциальным соотношением

вместо закона Ома для сопротивления . В непрерывной проводящей среде это соотношение соответствует уравнению непрерывности (20.4). Законы Кирхгофа приводят, таким образом, к системе обыкновенных линейных дифференциальных уравнений вместо линейных алгебраических для цепей с сопротивлениями.

Рассмотрим в качестве примера саморазряд конденсатора вследствие утечки тока по его диэлектрику (ср. § 22). Эквивалентная схема такого конденсатора изображена на рис. 111,3, а. Первое уравнение Кирхгофа сводится в этом случае к соотношению (25.1), а второе дает или

Решение линейпого однородного дифференциального уравнения всегда ищется в виде

где — неизвестный параметр решения, постоянная интегрирования, которая определяется из начальных условий. Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение, получим алгебраическое уравнение для откуда . Постоянную А найдем из условия, что при напряжение на емкости было откуда Окончательно решение имеет вид

Таким образом, разряд емкости через сопротивление происходит по экспоненциальному закону и характеризуется постоянной времени (ср. (22.6)).

Рассмотренный пример показывает, что характерной особенностью цепей с емкостью является наличие так называемого

Рис. 111.3. Электрические цепи емкостью.

Рис. 111.4. Схема цепи к задачам 2, 3 § 25.

переходного процесса, в результате которого напряжение на емкости стремится к некоторому стационарному значению. По истечении достаточно большого времени емкость можно рассматривать просто как разрыв цепи (бесконечное сопротивление), и мы возвращаемся к случаю цепей с сопротивлениями и постоянным током. При расчете переходного процесса нужно учитывать, вообще говоря, не только явные емкости конденсаторов, включенных в цепь, но и так называемые «паразитные» емкости между проводами, концами сопротивления, между элементами цепи и окружающими предметами («землей») и пр. Роль этих «паразитных» емкостей тем больше, чем выше частота тока в цепи (подробнее см. § 52).

Задача 1. Рассмотреть разрядку одного конденсатора на другой (рис. III.3, б).

Уравнения Кирхгофа имеют вид

Интегрируя последнее уравнение, получим Исключая, например, , найдем

Решение

содержит две постоянных интегрирования , которые определяются начальным напряжением на емкостях: Окончательно получаем

Рассмотрим еще баланс энергии в цепи. В начальный момент а в конце Интересно отметить, что энергия, выделившаяся на сопротивлении не зависит от его величины.

Задача 2. Рассмотреть процесс зарядки плоского конденсатора из задачи 1 § 22.

Записав второе уравнение Кирхгофа в виде и условия на границе между слоями: найдем, например, уравнение для свободного заряда на границе:

Отсюда

получим перестановкой индексов 1 2. Таким образом, поля и заряды, найденные в задаче 1 § 22, устанавливаются с характерным временем из (25.9) (ср. с Эквивалентная схема такого конденсатора представлена на рис. III.4 — ключ в положении А. При этом Из (25.10) следует, что при напряжения на «конденсаторах» определяются отношением емкостей («емкостной делитель»):

а при отношением сопротивлений («омический делитель»):

Если или, что то же самое, напряжения на «конденсаторах» не зависят от времени («компенсированный делитель»), и значения из (25.11), (25.12) совпадают.

Задача 3. Два конденсатора с утечками подсоединены последовательно к источнику высокого напряжения (см. рис. III.4). Затем конденсаторы отключаются от источника, заземляются на короткое время, после чего отсоединяются от «земли». Найти напряжение в точке Напряжения на емкостях перед заземлением равны (см.

После заземления полный заряд параллельно соединенных конденсаторов , следовательно, напряжение на них

где После размыкания конденсаторов каждый из них разряжается через свою утечку по закону (25.4). Напряжение в точке будет равно

Если постоянные времени конденсаторов существенно различны может быть порядка начального напряжения 8 в течение времени

Закорачивание конденсаторов является стандартной процедурой обеспечения безопасности при работе с высоким напряжением. Рассмотренная задача показывает, однако, что конденсаторы ведут себя весьма «коварно» — после закорачивания на них снова может появиться высокое напряжение, которое сохраняется иногда в точение нескольких дней. Это не раз приводило к несчастным случаям с неопытными экспериментаторами. Частичное решение состоит в тем, чтобы закорачивать каждый конденсатор в отдельности. Однако и в этом случае возможно появление высокого напряжения, так как обычно высоковольтный конденсатор состоит из последовательно соединенных секций. Поэтому правила техники безопасности предписывают после выключения напряжения держать высоковольтные конденсаторы все время закороченными. При включенном напряжении доступ к установке должен быть надежно защищен специальным заземленным ограждением. Заметим попутно, что такое ограждение, призванное защитить экспериментатора, является в то же время источником дополнительной опасности именно потому, что оно заземлено, а при хорошем контакте экспериментатора с землей даже напряжение 220 В смертельно опасно.

Разобранный пример с конденсатором показывает, что обеспечение безопасности янляется сложной физической задачей, так как

необходимо все время учитывать самые неожиданные и сложные физические процессы. Другим примером подобной опасности при работе с высоким напряжением является так называемое шаговое напряжение (см. задачу 3 § 22).