Глава III. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК

§ 20. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Электрическим током называется любое упорядоченное движение электрических зарядов. Как правило, при этом имеется в виду движение зарядов в некоторой среде, именуемой проводником. С точки зрения технических приложений это, пожалуй, наиболее важный случай. Возможны, однако, и другие виды электрического тока, например пучок заряженных частиц в вакууме (см. § 27).

В отсутствие электрического поля электроны в проводнике движутся хаотически, так что их средняя скорость Здесь черта означает усреднение по времени для одного электрона, а скобки — усреднение по многим электронам в определенный момент времени.

Интересне отметить, что в металлах скорость хаотического движения электронов весьма велика и составляет см/с даже вблизи абсолютного нуля температуры. Это чисто квантовый

эффект — той же природы, что и движение электронов в атомах и молекулах. Нагревание металла лишь незначительно увеличивает эту скорость, даже при температуре испарения металла.

Электрическое поле ускоряет электроны, так что появляется некоторое упорядоченное движение, т. е. электрический ток, который можно охарактеризовать количеством заряда, проходящим через некоторую поверхность в единицу времени. Эта величина называется силой тока и измеряется в амперах (СИ). В гауссовой системе , что приблизительно соответствует потоку в электронов в секунду.

Другой характеристикой является плотность тока

где — плотность заряда, — плотность электронов. В дальнейшем мы опускаем знак усреднения.

В обычных условиях средняя скорость электронов очень мала. Так, например, при плотности тока в медном проводнике эта скорость составляет всего около 5 см в сутки Подчеркнем, что сама по себе эта скорость никак не сказывается на обычных электрических процессах. Ее можно было бы, в принципе, наблюдать лишь в специальных очень тонких экспериментах типа закручивания кольца при возбуждении в нем тока. Если же напряжение подается на обычную электрическую цепь, ток возникает практически одновременно во всех участках цепи.

Полный ток через поверхность связан с плотностью тока интегралом:

Рассмотрим баланс электрического заряда в проводящей среде при протекании тока. Выделим мысленно некоторый объем проводника V, ограниченный замкнутой поверхностью Пусть в этом объеме находится заряд Его изменение определяется током через поверхность:

Знаки выбраны так, что положительный ток «вытекает» из объема и заряд уменьшается Частная производная означает, что имеется в виду локальное (в данной точке проводника) изменение плотности заряда. Правую часть равенства можно преобразовать, используя теорему Остроградского — Гаусса (см. § 6): Так как равенство (20.3) справедливо для любого объема, должны быть равны и подынтегральные выражения:

Это соотношение носит название уравнения непрерывности. Оно описывает закон сохранения электрического зряда для непрерывного распределения заряда и тока. Уравнение (20.4) называется локальным законом сохранения, а (-интегральным.

Справедливость уравнения непрерывности вытекает в конечном счете из всей совокупности современных экспериментальных данных. В обычных условиях протекания тока закон сохранения заряда сводится просто к неизменности электрического заряда каждой элементарной частицы. При этом, разумеется, число частиц также остается постоянным. В данном случае уравнение непрерывности означает баланс частиц и может быть записано с помощью чисто механических величин:

В релятивистской области удобно пользоваться четырехмерным вектором (-вектором) тока. Определим его соотношением

где — компоненты 4-скорости, — инвариантное время Величина будет 4-вектором, если — инвариант (скаляр). Выберем в качестве инвариантную плотность заряда, т. е. плотность заряда в собственной системе частиц, где их средняя скорость равна нулю. В нерелятивистском случае определение (20.6) совпадает с (20.1), причем четвертая компонента 4-тока оказывается пропорциональной плотности заряда. В релятивистском случае

где — обычная плотность заряда в системе отсчета, относительно которой частицы движутся со скоростью Связь получается по аналогии с поскольку как и является четвертой компонентой 4-вектора. Квадрат модуля 4-вектора тока равен — так как 4-вектор тока, как и 4-скорость, является времениподобным вектором.

Соотношение (20.7) показывает, что первоначальное нерелятивистское определение плотности тока (20.1) сохраняется и в общем случае.

Подчеркнем, что все понятия и соотношения этого параграфа справедливы для любого вида электрического тока, поскольку они описывают его «кинематику».