§ 7. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ (УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА)

С помощью теоремы Остроградского — Гаусса запишем закон сохранения потока в виде

Поскольку это соотношение справедливо для любой поверхности должно выполняться равенство

Учитывая, что можно написать

где ствол обозначает оператор Лапласа:

На этом примере видно, что с дифференциальным оператором V можно обращаться как с вектором, значительно упрощая анализ. В частности, оператор есть просто скалярный квадрат (здесь и дальше мы опускаем знак суммы, подразумевая суммирование по повторяющимся индексам).

Соотношение (7.3), или эквивалентное ему (7.2), называют основным уравнением электростатики, так как оно дает возможность находить электрическое поле произвольной системы покоящихся зарядов. Уравнение (7.3) носит название уравнения Пуассона, а его частный случай: — уравнения Лапласа.

В качестве примера применения уравнения Пуассона рассмотрим разобранные в § 6 три случая. Потенциал однородно заряженного слоя зависит в силу симметрии только от х, поэтому

Фактически имеются три различные области поля: . Проинтегрируем уравнение (7.5) в каждой из этих областей:

где — постоянные интегрирования. Одна из постоянных может быть выбрана произвольно в силу неоднозначности потенциала. Положим, например, откуда Далее, вследствие симметрии поля относительно плоскости имеем Оставшиеся две постоянные, например А, В, можно найти, «сшивая» решения в разных областях на границе между ними. На границе должны выполняться как раз два условия:

Первое означает непрерывность потенциала (в противном случае на границе возникали бы бесконечные поля), второе — непрерывность поля, что в силу уравнения (7.2) эквивалентно конечной плотности заряда. В рассматриваемом примере эти условия записываются в таком виде (при

Окончательно получаем:

что совпадает с (6.12).

Задача. Найти поле слоя зарядов при в плотной квазинейтральной плазме на больших расстояниях от слоя.

В соответствии с распределением Больцмана плотность зарядов разного знака в плазме, находящейся в электрическом поле, дается выражением где — температура и плотность невозмущенной плазмы Тогда уравнение Пуассона принимает вид

при условии, что . Отсюда

т. е. потенциал и электрическое поле затухают экспоненциально на характерной длине называемой радиусом Дебая.

Если не ограничиваться случаем то решение уравнения (7.9) для «бесконечной плотности заряда при имеет такой вид:

Если ввести локальный радиус Дебая то при получим .

В общем случае уравнение Пуассона невозможно проинтегрировать аналитически. Это значит, что его решение не выражается через известные функции. То же самое имеет место и для обыкновенных дифференциальных уравнений (например, в механике). Это связано с тем, что при интегрировании в отличие, например, от дифференцирования класс функций расширяется. Поэтому существуют лишь отдельные приемы интегрирования, применение которых ограничено определенным классом задач. Практически всегда нужно в какой-то степени угадать решение. Отсюда традиционная фраза теоретика: «Будем искать решение этого уравнения в виде...» Обычно такое «угадывание» производится из физических соображений. В частности, очень важное значение имеет выбор системы координат. Так, в рассмотренных выше примерах выбор координат диктовался симметрией системы. В результате сложное уравнение в частных производных свелось к обыкновенному дифференциальному уравнению. Заметим, что последнее удалось проинтегрировать благодаря тому, что плотность заряда в каждой из областей

постоянна; при произвольном, хотя бы и симметричном, распределении заряда это уравнение, конечно, тоже интегрируется аналитически. В таком случае остается только численное интегрирование на что всегда выполнимо.