§ 6. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ПОТОКА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

Пользуясь понятием силовых линий, можно провести аналогию между электрическим полем и ламинарным течением несжимаемой жидкости. В последнем случае вводятся линии тока — кривые, вектор касательной к которым совпадает в каждой точке с вектором скорости жидкости Подобно силовым линиям, линии тока дают

геометрическую картину поля скоростей жидкости. Другим полезным и наглядным понятием является понятие трубки тока, боковая поверхность которой образована линиями тока (рис. 1.4). Аналогично можно говорить о трубке поля. Наконец, введем понятие потока:

который пропорционален количеству жидкости, протекающей через поверхность в единицу времени. Точно так же можно определить поток электрического поля:

хотя он и не имеет такого наглядного физического смысла, как поток жидкости.

Легко видеть, что поток постоянен вдоль трубки поля, поскольку вектор Е не пересекает ее боковой поверхности (т. е. ). С другой стороны, по определению (см. рис. 1.4), линии поля также не пересекают трубки, а значит, внутри нее число линий остается постоянным. Отсюда можно заключить, что поток через некоторую поверхность пропорционален числу силовых линий, пересекающих ее, а напряженность Е оказывается, в свою очередь, пропорцинальной плотности линий поля.

Рассмотрим теперь поток через замкнутую поверхность, считая, что силовые линии, выходящие наружу (вектор направлен по внешней нормали), образуют положительный поток, а входящие — отрицательный. Если линии непрерывны, то входит и выходит их одинаковое число, и, следовательно, полный поток через замкнутую поверхность равен нулю. С другой стороны, на основании общей теоремы Остроградского — Гаусса можно написать

Это справедливо для произвольного объема, если всюду

Рис. 1.4. Трубка поля.

Рис. 1.5. Закон сохранения потока электрического поля.

С геометрической точки зрения это есть условие непрерывности силовых линий.

Найдем поток поля точечного заряда через произвольную замкнутую поверхность Если последняя не охватывает заряда, то силовые линии внутри нее непрерывны и, как мы видели выше, поток равен нулю. Если же находится внутри, то предыдущее рассмотрение неприменимо, так как силовые линии расходятся от заряда. Для вычисления потока в этом случае заметим, что он не зависит от формы (рис. 1.5), поскольку любую поверхность пересекает одно и то же число силовых линий. Выбрав в качестве сферу, центр которой совпадает с получим

В силу принципа суперпозиции равенство остается справедливым и для произвольной системы зарядов, причем под в (6.5) следует теперь понимать сумму зарядов, расположенных внутри замкнутой поверхности:

Это соотношение называют обычно теоремой Гаусса. С физической точки зрения равенство (6.6) можно рассматривать как некоторый закон сохранения в том смысле, что поток не зависит от поверхности, а также и от времени при условии, что заряды не пересекают поверхность.

Хотя электрический заряд дискретен, число его носителей в макроскопических телах столь велико, что можно ввести понятие плотности заряда, использовав представление о непрерывном распределении последнего в пространстве

Здесь объем физически бесконечно мал, т. е. он мал по сравнению с характерными размерами макроскопической системы, но велик по сравнению с микроструктурой тела (межатомными расстояниями).

С помощью плотности заряда закон сохранения потока можно записать в виде:

где — среднее значение нормальной составляющей поля по поверхности . В отдельных случаях симметричных систем поверхность удается выбрать таким образом, что остается постоянной на всей поверхности. Тогда закон сохранения потока позволяет вычислить все поле, а не только его среднее значение.

Задача. Найти поле равномерно заряженных шара, цилиндра и плоского слоя.

Рис. 1.6. Поле и потенциал равномерно заряженного шара.

В первом случае

В силу симметрии электрическое поле имеет только радиальную составляющую и в качестве поверхности можно выбрать сферу радиуса концентрическую с шаром. Согласно (6.8) получаем

где — полный заряд и радиус шара. Графики поля и потенциала (6.10) изображены на рис. 1.6. Аналогично для цилиндра

— заряд на единицу длины цилиндра радиуса а. Наконец, для плоского слоя

— заряд на единицу площади слоя толщиной — координата вдоль нормали к слою.