§ 74. ПОЛНОЕ ВНУТРЕННЕЕ ОТРАЖЕНИЕ. ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ

При условии полного внутреннего отражения

преломленная волна отсутствует. Это не означает, что во второй среде нет поля. Действительно, граничные условия (73.1) нельзя удовлетворить только с помощью двух волн. Однако поэтому и . Из баланса энергии (73.3) следует тогда, что поскольку , как мы увидим ниже. Граничные условия (73.4) принимают здесь вид

Четвертое условие (73.4) мы уже использовали выше а третье записали для как в исходной системе (73.1), так как поле во второй среде не является плоской волной, и

поэтому Отношение полей можно найти из уравнения (74.2):

Отметим, что при где — угол полного внутреннего отражения), отношение полей становится таким же, как и в свободной волне.

Вектор Ем направлен по нормали к поверхности раздела, как было показано выше, а вектор — вдоль поверхности. Поэтому вектор Пойнтинга направлен вдоль границы в направлении падающей волны и равен

Для ТЕ-волны заменой получим

Граничные условия определяют поле непосредственно у поверхности раздела. Как выглядит поле во второй среде вдали от поверхности? Ограничимся случаем монохроматической волны. Используя связь между частотой и волновым вектором в среде и разлагая к на нормальную и тангенциальную компоненты, можем написать

Используем теперь закон преломления (73.6), который на языке волнового вектора означает сохранение его тангенциальной составляющей:

Заметим попутно, что закон отражения можно записать в аналогичной форме: Исключая из с помощью (74.7), найдем

При условии полного внутреннеого отражения и, следовательно, становится мнимым. Это означает, что волна экспоненциально затухает в глубь второй среды. Действительно, поле во второй среде можно представить в виде

где — координата вдоль нормали к поверхности; — поле на границе (74.2). Знак в экспоненте выбран из условия при Это условие означает, в сущности, что волна приходит из первой среды. Таким образом, при полном внутреннем отражении поле проникает во вторую среду на глубину

где — угол полного внутреннего отражения. Для не слишком близких к глубина проникновения оказывается порядка длины волны во второй среде.

Теперь легко понять, почему энергия во второй среде течет вдоль поверхности. Рассмотрим предельный случай скользящего падения когда волна в первой среде распространяется почти параллельно поверхности. В силу граничных условий фаза поля во второй среде должна совпадать с фазой падающей волны. Отсюда получается неожиданный результат: поле во второй среде будет распространяться с фазовой скоростью волны в первой среде. Это, однако, не противоречит соотношению (74.6), так как, хотя волна во второй среде распространяется вдоль поверхности, из-за затухания волны. Для фазовой скорости поля во второй среде получим

При произвольном скорость равна «проекции» При фазовая скорость во второй среде становится «нормальной»: Физический смысл полученного результата состоит в том, что поле во второй среде не является независимой (свободной) волной, а как бы жестко «скреплено» (граничными условиями) с полем падающей волны.

При скользящем падении возникает еще один парадокс: поле вблизи поверхности в первой среде удваивается (см. рис. а плотность энергии возрастает в четыре раза. Откуда берется дополнительная энергия? Обсуждение этого парадокса будет дано в главе о дифракции. Аналогичный парадокс возникает и в случае скользящего падения без полного внутреннего отражения. В этом случае поле отраженной волны направлено противоположно полю падающей, так что полное поле в первой среде вблизи границы обращается в нуль. Куда же передается энергия падающей волны? Интересно отметить, что в этом случае поле во второй среде также равно нулю, т. е. полное отражение (при ) происходит без проникновения волны во вторую среду.

Полное внутреннее отражение используется в оптической технике для поворота луча. Примером могут служить призмы, изображенные на рис. Х.7. Первая из них (а) работает как. обычное зеркало: угол падения (по отношению к косой грани) равен углу

Рис. Х.7. Примеры использования призмы полного внутреннего отражения. а — поворот пучка света на поворот пучка света на в — «уголковый отражатель» — отражение произвольно направленного пучка света на 180°.

отражения. Вторая призма (б) оказывается более «хитрой»: она поворачивает луч на 180° независимо от угла падения, если луч лежит в плоскости рисунка. Призма (в) избавлена от этого ограничения: она отражает луч точно назад, независимо от его направления. Она представляет собой трехгранную пирамиду, получающуюся отсечением угла куба. В проекции на любую боковую грань призмы отражение происходит от двух взаимно перпендикулярных плоскостей, т. е. аналогично случаю (б). Отражатель из нескольких десятков призм типа (в) установлен американскими космонавтами на Луне и позволяет с огромной точностью см) измерять траекторию Луны по отражению лазерного луча.

Проникновение волны во вторую среду в условиях полного внутреннего отражения приводит к интересному явлению при наличии третьей среды (рис. Х.8). Пусть, например, две стеклянные пластинки разделены щелью шириной Если граничные условия на второй пластинке будут слабо влиять на полное внутреннее отражение в первой. Поэтому для оценки можно воспользоваться выражением (74.9). Пренебрегая разницей между Е и а также отражением на входе во вторую пластинку, получим оценку для коэффициента прохождения через щель:

Явление это получило название туннельного эффекта. Смысл такого названия выяснится в § 88. Туннельный эффект связан с другим важным понятием оптического контакта двух сред. Последний имеет место, если ширина щели когда волна проходит из одной среды в другую без существенного отражения, независимо от угла. Так как для света мкм, то для достижения оптического контакта требуется очень тщательная пришлифовка

Рис. Х.8. Туннельный эффект при полном внутреннем отражении.

Рис. Х.9. Образование стоячей волны при отражении.

поверхностей. По этой же причине наблюдение туннельного эффекта для света является очень тонким экспериментом. Однако его легко провести в диапазоне сантиметровых длин волн, используя, например, парафиновые пластинки.