§ 31. ВЕКТОР-ПОТЕНЦИАЛ

По аналогии с электростатикой можно попытаться упростить описание магнитного поля, введя его потенциал. Однако использование обычного скалярного потенциала

вообще говоря, невозможно, так как магнитное поле непотенциально. Это видно уже из простого примера, рассмотренного в § 28.

Исходя из совершенно иных соображений, Максвелл ввел так называемый вектор-потенциал А, связанный с магнитным полем равенством

Операция ротор определяется как векторное произведение с оператором V:

Последнее выражение справедливо только в декартовых координатах, причем подразумевается разложение детерминанта по минорам первой строки, например,

Выбор такой формы потенциала не случаен, так как операция ротор всегда дает поле с замкнутыми (или уходящими на бесконечность) силовыми линиями. Это следует из того, что дивергенция ротора всегда равна нулю:

При геометрической интерпретации оператора V как вектора последнее выражение соответствует объему параллелепипеда, построенного на трех векторах, два из которых совпадают.

Для того чтобы наглядно представить себе действие оператора «ротор», рассмотрим простой механический пример — после скоростей вращающегося твердого тела и вычислим ротор этого поля: . В данном случае линии представляют собой прямые, уходящие на бесконечность.

Вектор-потенциал однородного магнитного поля можно, как легко проверить, записать в виде или в цилиндрической системе координат

Из выражения (31.2) вытекает, что силовые линии магнитного поля не имеют концов, т. е. замкнуты или уходят на бесконечность. Но можно ли утверждать, что любое магнитное поле имеет такую конфигурацию? Для положительного ответа на этот вопрос достаточно подобрать правильное значение вектор-потенциала для единственного движущегося заряда. Тогда в силу принципа суперпозиции выражение (31.2) будет справедливо для любого поля.

Необходимое выражение действительно существует:

хотя трудно ответить на вопрос, как его получить, его нужно просто «угадать». Проверим, что такой потенциал дает правильное

выражение для магнитного поля движущегося заряда. Имеем

что совпадает с (28.4) или (29.10) .

Обратим внимание на то, что вектор-потенциал точечного заряда (31.5) очень просто связан со скалярным потенциалом его электрического поля:

С помощью принципа суперпозиции можно написать теперь выражение для вектор-потенциала магнитного поля произвольной системы токов:

Отметим, что нужно четко проводить различие между координатами поля (радиус-вектор ) и координатами источников доля — токов (радиус-вектор ).

Соотношение (31.7) между потенциалами выполняется и в общем случае, если под понимать некоторую среднюю скорость движения заряженных частиц. Это соотношение полезно при различных оценках.

Напомним, что выражение (31.8) справедливо, вообще говоря, только для стационарного поля в нерелятивистском случае. В действительности оно справедливо также и для полей, достаточно медленно изменяющихся во времени. Такие поля называются квазистационарными. Как отмечалось выше (см. § 29), отклонение от стационарного выражения (31.8) связано с запаздыванием поля. Поэтому поле можно считать квазистационарным, если его запаздывание не существенно. Пусть — характерное время (период) изменения поля, характерный размер системы токов, создающих это поле. Тогда условие квазистационарности можно записать в виде

где — длина волны поля.

Вектор-потенциал А является вспомогательной величиной, и при заданном его выбор неоднозначен. Действительно, согласно величина Н не изменится, если произвести преобразование

— произвольная скалярная функция: Выбор конкретного вида а следовательно, и называется калибровкой потенциала, а соотношение (31.10) — калибровочным преобразованием. В частности, соотношение (31.8) справедливо только при определенной калибровке потенциала, которая называется лоренцевской (см. (32.7)).