Глава XII. ДИСПЕРСИЯ

§ 84. ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТИ ВОЛНЫ

Рассмотрим распространение электромагнитной волны в среде с дисперсией Слово дисперсия буквально означает разброс. В данном случае речь идет о разбросе значений показателя преломления, точнее, о его зависимости от частоты поля. Дисперсия показателя преломления зависит от динамики электронов

среды. Например, для плазмы (см. задачу 1, § 77)

где — число электронов в единице объема, — заряд и масса электрона.

Задача 1. Найти зависимость диэлектрической проницаемости от частоты поля для однородного и изотропного диэлектрика, помещенного в однородное магнитное поле Н.

Данная задача аналогична задаче 1, § 77. Запишем уравнения движения атомного электрона, выбрав декартову систему координат с осью параллельной И:

— собственная частота атома-осциллятора. Для гармонической зависимости электрического поля от времени отсюда получим

Компоненты вектора электростатической индукции связаны теперь с компонентами поля тензорной зависимостью (см. § 15): где — компоненты тензора диэлектрической проницаемости, которые найдем, подставив в выражение для значения х, полученные выше. В результате

В случае выражение (84.3) дает тензор диэлектрической проницаемости замагниченной холодной плазмы.

Дисперсия характеризует распространение монохроматической волны. Однако мы знаем, что любое поле может быть представлено в виде суперпозиции монохроматических волн и даже — плоских монохроматических волн с определенной частотой со и волновым вектором к. Закон распространения такой волны характеризуется зависимостью которая называется дисперсионным уравнением. Например, для плазмы

Это соотношение получается подстановкой в волновое уравнение,

например (66.2), выражений для поля плоской монохроматической волны:

Дисперсионное уравнение определяет, в частности, скорость волны (69.4)

Для плазмы всегда , а значит, скорость волны в плазме всегда больше предельной скорости с. Возможно ли это? Не противоречит ли это теории относительности?

Прежде всего заметим, что скорость (84.5) относится к идеальной монохроматической волне бесконечной протяженности. Так как форма такой волны заранее полностью определена, она вообще не может нести никакой информации, и в этом смысле противоречие с теорией относительности не возникает. Скорость (84.5) называется фазовой скоростью волны, так как она характеризует перемещение в пространстве точки с определенной фазой. Можно сказать, что фазовая скорость — геометрическое (кинематическое), а не физическое понятие. Приведем наглядный механический пример фазовой скорости. Представим себе цепочку независимых маятников, отклонения и скорости которых в начальный момент времени равны

где — координата маятника, а — частота его колебаний. Нетрудно видеть, что колебания маятников образуют бегущую волну Ее фазовая скорость может быть любой в зависимости от начального расположения маятников. В частности, при (синфазные маятники)

Обратим внимание на то, что фазовая скорость не является вектором, как, например, к. Действительно, пусть вектор к направлен под углом а к оси х. Тогда поле вдоль х можно записать в виде и фазовая скорость в направлении оси может быть представлена формулой

вместо необходимого для векторов соотношения а. В частности, при фазовая скорость в этом направлении оказывается больше предельной скорости с, а при она вообще обращается в бесконечность. Обсуждение этого парадокса будет дано в § 86. Однако сразу можно сказать, что фазовая скорость не является «настоящей» (физической) скоростью волны, скажем скоростью движения фотонов. Для передачи сигнала волну необходимо промодулировать, а значит, она уже перестанет быть монохроматической, и ее спектр будет иметь конечную ширину. Модулированная волна называется обычно волновым пакетом (монохроматических составляющих), или группой волн.

Исследуем движение волнового пакета в среде. Рассмотрим вначале простейший пример пакета всего из двух волн одинаковой амплитуды

При близких а значит и второй сомножитель в последней формуле описывает приблизительно монохроматическую волну, а первый — медленную амплитудную модуляцию — огибающую этой волны. Скорость движения огибающей

Эта скорость называется групповой скоростью волны.

Чтобы исследовать распространение волнового пакета в более общем случае, используем спектральное разложение. Пусть в начальный момент в среде задано поле

В силу принципа суперпозиции каждая монохроматическая составляющая начального поля представляет плоскую волну где связь задается дисперсионным уравнением . Отсюда сразу получаем формальное решение:

Чтобы вычислить этот интеграл в явном виде, предположим, что мы имеем достаточно длинный волновой пакет с узким спектром Тогда можно разложить в ряд:

Ограничимся пока первыми двумя членами ряда. Подставляя их в (84.11), получим

где Таким образом, с точностью до фазового множителя начальное возмущение (84.10) перемещается без искажения с групповой скоростью (84.9).

Изменение фазы волны происходит за счет разности фазовой и групповой скоростей:

Картина движения волны выглядит при этом следующим образом. Синусоида с частотой смещается относительно своей огибающей, «возникая» на одном конце ее и «исчезая» на другом. Энергия волны перемещается, конечно, вместе с волновым пакетом, т. е. движется с групповой скоростью. Это значит, что групповая скорость не должна превосходить предельную с. В частности, например, для волн в плазме (84.1)

С другой стороны, если групповая скорость равна нулю, волна вообще не несет энергию. Примером может служить рассмотренная выше цепочка маятников, для которой Независимость частоты от длины волны как раз и показывает, что между соседними маятниками нет никакого взаимодействия, а значит, нет и передачи энергии.

Задача 2. Найти поворот плоскости поляризации плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся в диэлектрике вдоль однородного магнитного поля (эффект Фарадея). Считать поле слабым.

Анизотропия замагиичепного диэлектрика несколько усложняет вид волнового уравнения для поля. Теперь нельзя положить поэтому вместо (66.2) получим для плоской монохроматической волны при

откуда для с учетом (84.3) запишем

Умножая второе уравнение на и складывая с первым, приходим к уравнению

Теперь вернемся к линейно-поляризованной волне и представим ее в виде суперпозиции двух циркулярнополяризованных (см. (69.6), (69.7))

Подстановка каждой из Двух составляющих этого выражения в (8415) дает (знак «-» для левой поляризации появляется из-за зависимости вида и от времени, что видно из (84.3): . Для слабого магнитного поля и поле волны на расстоянии от входа в диэлектрик

Это означает, что вектор повернулся на угол где постоянная Верде.