§ 58. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ФАЗОВОГО ОБЪЕМА ПУЧКА ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

В предыдущем параграфе мы видели, что с помощью электромагнитного поля можно производить различные преобразования пучков заряженных частиц — сжимать или расширять их, отклонять, изменять энергию частиц и т. д. При этом изменяются как координаты частиц, т. е. размер пучка, так и их скорости (импульсы), в частности угловая расходимость пучка. Оказывается, что все такие изменения не являются произвольными, а подчиняются некоторым общим закономерностям, не зависящим от конкретного вида и величины электромагнитного поля. Эти закономерности проявляются при анализе движения частиц в шестимерном пространстве координат-импульсов , которое называется фазовым пространством.

Можно записать уравнение непрерывности для плотности заряда в шестимерном пространстве и шестимерной плотности тока, аналогично тому, как это сделано в трехмерном (координатном) пространстве (см. § 20):

Здесь индексом «6» обозначены шестимерные величины, без индекса — трехмерные, а векторы относятся к соответтвующему пространству. Выясним, как зависит от времени. Для этого преобразуем полную производную:

Здесь учтено, что выражение в фигурных скобках есть левая часть уравнения непрерывности (58.1). Далее, компоненты трехмерной скорости однозначно связаны с компонентами импульса , т. е. являются функциями только координат но не Поэтому Вторую часть оставшейся суммы можно записать в трехмерных величинах:

Электрическое и магнитное поля — функции координат поэтому и в рассматриваемом выражении остается только смешанное произведение , где единичный вектор, направленный вдоль . Наконец,

так что смешанное произведение содержит два одинаковых сомножителя , значит, равно нулю. Таким образом,

т. е. плотность заряда в шестимерном фазовом пространстве есть интеграл движения. В пучке конечных размеров число частиц постоянно:

Записывая это соотношение через среднюю плотность и учитывая, что получим закон сохранения фазового объема пучка частиц (Лиувилль, 1838 г.):

Это означает, что в процессе движения пучка его фазовый объем может только деформироваться, но не может изменяться. Например, пучок частиц в свободном пространстве изменяет только свои геометрические размеры (в пренебрежении взаимодействием частиц), а импульсы частиц остаются постоянными. Проекция фазового на любую из координатных плоскостей изменяется при этом независимо, так что площадь каждой проекции остается постоянной. В этом случае принято различать два поперечных и продольный фазовые объемы. Задачи 1, 2 ниже дают примеры применения рассмотренного закона сохранения.

Задача 1. Описать деформацию фазового объема пучка при его фокусировке тонкой линзой. Найти положение и величину минимального размера (кроссовера) пучка. Считать, что на расстоянии а от линзы поперечный фазовый объем пучка имеет вид прямоугольника (рис. VII.8), система аксиально-симметричная.

Поведение поперечного фазового объема пучка удобнее в данном случае описывать в переменных «координата — угол» (рис. VII.8):

где — угол между импульсом частицы и осью Тогда координата и угол частицы перед входом в линзу есть

Рис. VII.8. Прохождение пучка через тонкую линзу. а — поперечный фазовый объем пучка в исходном состоянии, перед линзой, за ней и в плоскости кроссовера; б - траектории частиц; П — исходный пучок («предмет»), Л — линза, Ф — фокальная плоскость, — фокус; номерами помечены частицы и их траектории в фазовом и координатном пространствах.

где — начальные параметры траектории. За линзой (см.

и, наконец, на расстоянии 6 от линзы

Кроссовер пучка образуется в точке, где координаты частиц и 2 (а также одинаковы. Поскольку для частиц 1, 2 значения соответственно равны

то из условия получим

Таким образом, кроссовер пучка образуется в фокальной плоскости, а размер кроссовера ощэеделяется угловым размером пучка и фокусным расстоянием линзы. Для образования кроссовера (фокусировки пучка) линза должна быть достаточно короткофокусной: нужно, чтобы Отметим, что на расстоянии от линзы, таком что

координаты частиц не зависят от направлении их траектории в плоскости Это означает, что частицы, проходящие через одну и ту же точку плоскости П, вновь соберутся в точку в плоскости где возникает изображение пучка.

Задача 2. Описать изменение продольного фазового объема сгустка нерелятивистских заряженных частиц после пересечения ими короткого

Рис. VII.9. Деформация продольного фазового объема сгустка частиц при прохождении ускоряющей разности потенциалов. а — фазовый объем сгустка на входе в поле; б — на выходе; точками отмечены границы сгустка.

участка ускоряющего поля. Считать начальный разброс частиц по скоростям и изменение энергии частиц при ускорении малыми.

Примем, что продольный фазовый объем сгустка на входе в поле представляет собой прямоугольник (рис. VII.9). После ускорения скорость частицы примет значение увых где средняя скорость частиц на входе. К моменту, коща наиболее медленная частица задней границы егустка (точка 3, см. рис. VII.9) пройдет ускоряющий участок, частица уйдет от участка на расстояние

и фазовый объем сгустка на выходе примет вид, показанный на рис. VII.9, б. При все границы объема практически прямолинейны, и его величина на выходе

Подставляя сюда значения и получим после соответствующих вычислений

т. е., с точностью до членов четвертого порядка малости по (что превышает принятую точность аппроксимации границ прямыми), фазовый объем сгустка сохраняется.